n

I интенсивности, принятой за единицу, и с величиной øD диаметра примерно равного следующему значению: d ≈ f υ1, (10.127)

где f - фокусное расстояние Л линзы.

Вокруг (рис. 10.1.0. 33) центрального светлого пятна с величиной øD диаметра располагаются чередующиеся тёмные и светлые кольца. Первый дифракционный минимум образуется под υ₁ углом к OZ главной оптической оси Л линзы, величина которого рассчитывается из следующего выражения: υ₁ = 1, 22λ/d. (10.128) Выражение (10.128) υ₁ угла первого дифракционного минимума при дифракции Фраунгофера монохроматической плоской световой волны от круглого отверстия применяется для следующей оценки дифракционной δθ расходимости пучка света в результате прохождения световой волной с λ длиной волны через ДФ диафрагму с величиной ød диаметра: δθ ~ λ/d. (10.129)

Согласно выражению (10.129) монохроматическая плоская световая волна с λ длиной волны после прохождения через ДФ диафрагму с величиной ød диаметра перестаёт быть плоской, а лучи световой волны после прохождения через

показателем преломления, поэтому оптическая λ= λ₀ /n длина этой световой волны совпадает с геометрическими размерами на рис. 10.1.0.33, падает нормально на ДФ диафрагму, в котором существует отверстие ød диаметром, намного большим λ длины световой волны, т.е. ød>> λ, а Э экран находится на большом удалении от этого отверстия. В этом случае на Э экране возникает дифракционная картина Фраунгофера, имеющая вид (рис. 10.1.0.33) центрального светлого пятна

ДФ диафрагму распространяются в пределах конической поверхности с δθ углом при вершине этого конуса. Величина (10.129) дифракционной δθ расходимости пучка света в результате прохождения световой волной с λ длиной волны через ДФ диафрагму с величиной ød диаметра тем больше, чем меньше этот ød диаметр ДФ диафрагмы.

Дифракция Фраунгофера световых волн от щели в плоскости

После прохождения в однородной изотропной среде с n показателем преломления параллельным пучком световой волны с λ длиной ДФ диафрагмы, имеющей форму (рис. 10.1.0.34) щели бесконечной длины по перпендикулярной плоскости чертежа OX оси и d шириной по OY оси, возникает дифракция Фраунгофера. Каждый элементарный участок dy длиной плоской световой волны, находящийся на расстоянии y от центра O щели, согласно принципу Гюйгенса - Френеля

(рис. 10.1.0.34), является источником вторичной сферической волны.

От элементарного (рис. 10.1.0.34) участка длиной dy, находящегося в центре щели по OY оси, в котором находится O начало декартовой OXYZ системы координат, световые лучи распространяются в полупространство ниже OY оси под всевозможными углами к OZ главной оптической оси Л линзы и в том числе распространяется 1 луч под υ углом . От элементарного участка dy длиной, находящегося на расстоянии y от O центра щели, световой 2 луч тоже распространяется под υ углом, но имеет следующую оптическую Δ разность хода относительно 1 луча: Δ = ysinυ. (10.130) Направим r радиус - вектор из (10.8) выражения связи A проекции A светового вектора с

r модулем этого r радиус - вектора из O центра щели (рис. 10.1.0.34) по световому 1 лучу. Каждый из лучей, параллельный световому 1 лучу, от элементарных участков dy длиной на всей ширине

d щели слева и справа от её O центра на y расстоянии будут иметь следующую Ф_υ фазу (10.18)

колебаний dA_υ светового вектора световой волны в произвольный момент t времени в M точке на

Э экране: Ф_υ = ωt - k(r₀ + Δ) + φ, (10.131) где r₀ - оптический путь, проходимый световой волной от элементарного участка dy длиной, находящегося в O центре щели, до M точки на Э экране; k = 2π/λ - волновое число, где λ= λ₀ /n – длина световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления, поэтому оптическая λ= λ₀ /n длина этой световой волны совпадает с геометрическими размерами

на рис. 10.1.0.34.

Положим начальную Ф_υ0 фазу (10.126) световой волны в

M точке на Э экране в момент t₀ = 0 времени от элементарного участка dy длиной, находящегося в O центре щели, равной нулю, поэтому с учётом (10.130) равенства нулю оптической Δ₀ разности хода при y = 0, т.е. Δ₀ = 0 выражение φ начальной фазы колебаний A светового вектора монохроматической плоской световой волны с λ длиной волны после прохождения

(рис. 10.1.0.34) через ДФ диафрагму принимает следующий вид: Ф_υ0 = ωt₀ - k(r₀ + Δ₀) + φ = 0 ↔ φ = kr₀. (10.132) Подставляем (10.130), (10.132) в (11.131) и получаем

следующую зависимость Ф_υ фазы колебаний dA_υ светового вектора световой волны в произвольный момент t времени в M точке на Э экране от любого из элементарных участков dy длиной на всей

d ширине щели слева и справа от её O центра на y расстоянии с учётом k = 2π/λ волнового числа: Ф_υ = ωt - (2π/λ)ysinυ. (10.133)

Угол υ, под которым падают световые лучи на Э экран от любого из элементарных участков dy длиной на всей d ширине щели, мал, поэтому A_dy амплитуда световой волны на Э экране не будет зависеть от направления падения световых лучей на этот Э экран, т.е. не будет зависеть от υ угла, а будет зависеть только от dy длины элементарного участка, вследствие чего эта A_dy амплитуда световой волны на Э экране имеет следующий вид: A_dy = (A_d/d)dy, (10.134) где A_d - амплитуда вектора A светового вектора световой волны на Э экране от всей щели d шириной; A_d/d - амплитуда A светового вектора световой волны на Э экране от единицы длины щели.

С учётом выражения (10.8) связи A проекции A светового вектора с r модулем этого r радиус - вектора в произвольный момент t времени в M точке на Э экране, т.е. под υ углом (рис. 10.1.0.34)

к OZ главной оптической оси Л линзы, от элементарного участка щели dy длиной, а также с учётом (10.134) A_dy амплитуды и (10.133) Ф_υ фазы dA_υ модуль dA_υ светового вектора световой волны имеет следующий вид: dA_υ = (A_d/d)dycos[ωt - (2π/λ)ysinυ], (10.135) Модуль A_υ результирующего A светового вектора световой волны в произвольный момент

t времени в M точке на Э экране, т.е. под υ углом (рис. 10.1.0.34) к OZ главной оптической оси Л линзы, от всех элементарных участков щели dy длиной с предельными значениями y координат, изменяющихся от -d/2 до d/2 величин, имеет следующий вид:

d/2 A_υ =∫(A_d/d)cos[ωt -(2π/λ)ysinυ]dy = [A_dsin(πdsinυ/λ)cosωt]/(πdsinυ/λ). (10.136) -d/2 Амплитуда A_υm результирующего A светового вектора световой волны (рис. 10.1.0.34) в

M точке на Э экране, т.е. под υ углом к OZ главной оптической оси Л линзы, с учётом (10.136) выражения имеет следующий вид: A_υ = [A_dsin(πdsinυ/λ)]/(πdsinυ/λ). (10.137) В (рис. 10.1.0.34) направлении OZ главной оптической оси Л линзы, т.е. когда угол υ → 0 и выражен в радианах, с учётом значения предела lim(sinυ/υ) = 1 выражение (10.137) принимает следующий вид: A|_{υ → 0} = A_d. (10.138) Согласно (10.138) в направлении OZ главной оптической оси Л линзы A|_{υ → 0} амплитуда результирующего A_υ светового вектора световой волны в центре Э экрана равна A_d амплитуде

A светового вектора световой волны на Э экране от всей щели d шириной.

При значениях υ угла к главной оптической оси Л линзы, удовлетворяющих следующему условию: πdsinυ/λ = ± kπ ↔ dsinυ = ± kλ, (10.139) где k = 1, 2, 3, … амплитуда A_υ результирующего A светового вектора световой волны согласно (11.137) обращается в нуль. Следовательно, в (рис. 10.1.0.34) направлениях к OZ главной оптической оси Л линзы, где υ угол удовлетворяет условию (10.139), световые волны от щели образуют дифракционные минимумы.

Интенсивность (10.17) I_υ световой волны, пропорциональна квадрату A_υ² амплитуды результирующего A_υ светового вектора световой волны (рис. 10.1.0.34) в M точке на Э экране, т.е. под υ углом к OZ главной оптической оси Л линзы, поэтому с учётом (10.123) эта интенсивность I_υ световой волны имеет следующий вид:

I_υ = I_dsin²[(πdsinυ)/λ]/[(πdsinυ)/λ]², (10.140) где I_d - интенсивность (рис. 10.1.0.35) световой волны в центре Э экрана. Дифракционные минимумы 1min, т.е. 1-го порядка, образуются при υ_1min углах отклонений (рис. 10.1.0.34) плоской световой волны от OZ главной оптической оси Л линзы согласно (10.139).

Дифракционные минимумы 1min, т.е. 1-го порядка, образуются при υ_1min углах отклонений (рис. 10.1.0.34) плоской световой волны от главной оптической оси Л линзы согласно (10.139) при

k = 1, поэтому для этих дифракционных минимумов 1min, т.е. 1-го порядка, выражение (10.139) принимает следующий вид: dsinυ_1min = ± λ ↔ δυ = 2arcsin(λ/d), (10.141) где δυ - угловая ширина центрального дифракционного максимума, т.е. угол δυ, выраженный в радианах, между двумя (рис. 10.1.0.34) световыми лучами, симметричными относительно

OZ главной оптической оси Л линзы и направленными на дифракционные минимумы

(рис. 10.1.35) 1min, т.е. 1-го порядка. Учтём в (10.139) свойство тригонометрической функции sinυ ≤ 1 для её положительных значений, вследствие чего получим следующее выражение: dsinυ ≤ d ↔ kλ ≤ d ↔ d ≥ kλ, (10.142) где k = 1, 2, 3, …. Согласно (10.142) дифракционные максимумы и минимумы образуются, когда d ширина щели больше длины λ волны. В противном случае дифракционные максимумы и минимумы не возникают, а интенсивность I света монотонно убывает от середины дифракционной картины к её краям. В случае d >> λ, т.е. λ/d << 1 значение arcsin(λ/d) ≈ λ/d, поэтому угловую ширину δυ центрального дифракционного максимума с учётом (10.136) определяют согласно следующему выражению: δυ = 2λ/d. (10.143)

Предельный переход от волновой оптики к геометрической

При дифракции Френеля после прохождения (рис. 10.1.0.36) параллельным пучком световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления ДФ диафрагмы, имеющей форму щели бесконечной длины по перпендикулярной плоскости чертежа OX оси и d шириной по OY оси, эта ДФ диафрагма открывает для M точки на Э экране m количество зон Френеля, последний m номер которых определяется из следующего выражения для прямоугольного OMK треугольника: (b + mλ/2)² = b² + (d/2)² ↔ (mλ/2)² + 2b(mλ/2) = d²/4. (10.144) где d/2 - радиус последней открытой для M точки на Э экране зоны Френеля, т.е. имеющей наибольший m номер открытой зоны Френеля, которая на рис.10.1.0.17 обозначена r_m радиусом; λ= λ₀ /n – длина световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления, поэтому оптическая λ= λ₀ /n длина этой световой волны совпадает с геометрическими размерами на рис. 10.1.0.34.

По аналогии с (10.96), ограничившись рассмотрением не слишком больших m номеров зон Френеля, можно ввиду малости λ длины световой волны пренебречь в (10.130) слагаемым, содержащим λ², вследствие чего получается следующее выражение для m номеров зон Френеля: 2b(mλ/2) ≈ d²/4 ↔ m ≈ d²/4λb ↔ m ~ d²/λb. (10.145) При количестве m << 1 зон Френеля, что приводит в (10.145) к d << (λb)^1/2 выражению, щель настолько узкая, что открывает малую долю (рис. 10.1.0.16) 1 - ой зоны Френеля с r₁ радиусом. Поэтому дифракция Френеля отсутствует, т.к. каждый из световых лучей приходит на Э экран

с различием оптических путей намного меньших половины λ/2 длины волны.

При: m << 1 ↔ d << (λb)^1/2 (10.146) наблюдается дифракция Фраунгофера на (рис. 10.1.0.34),

(рис. 10.1.0.36) щели бесконечной длины по перпендикулярной плоскости чертежа OX оси и d шириной по OY оси с (рис. 10.1.35) ярким центральным максимумом и бледными максимумами высших порядков.

Если m = 1…5, что приводит в (10.145) к d ≈ (1…5)(λb)^1/2 выражению,

т.е. щель открывает небольшое количество (рис. 10.1.16) зон Френеля с r₁, …, r₅ радиусами, то на

Э экране существует (рис. 10.1.0.19), (рис. 10.1.0.20) дифракция Френеля с изображением щели, обрамлённой по краям отчётливо видимыми светлыми и тёмными полосами. При: m = 1…5 ↔ d = (1…5)(λb)^1/2 (10.147) наблюдается на Э экране (рис. 10.1.0.17), (рис. 10.1.0.18) дифракция Френеля посередине геометрической тени щели в ДФ диафрагме, обрамлённой по краям отчётливо видимыми светлыми и тёмными полосами.

Если m >> 1, что приводит в (11.145) к d >>(λb)^1/2 выражению, то щель открывает большое количество (рис. 10.1.0.16) зон Френеля с r₁, r₂, r₃, …радиусами. На Э экране из-за большого m количества зон Френеля А_m амплитуда световой волны от последней зоны с m номером, будет намного меньше, чем А₁ амплитуда световой волны от 1 - ой зоны Френеля с r₁ радиусом из-за того, что расстояние от последней зоны Френеля с m номером будет намного больше расстояния от

1 - ой зоны Френеля с r₁ радиусом. Поэтому в (10.93) слагаемым А_m/2 можно пренебречь по сравнению с А₁/2, что является признаком отсутствия дифракции Френеля. На Э экране в этом случае получается равномерно освещённое изображение щели, которое строится по законам геометрической оптики.

При: m >> 1 ↔ d >> (λb)^1/2 (10.148) на Э экране получается равномерно освещённое изображение щели, которое строится по законам геометрической оптики. Из (10.146), (10.147) и (10.148) критерием применимости либо законов геометрической оптики, либо дифракции Френеля, либо дифракции Фраунгофера является не малость λ длины световой волны в однородной изотропной среде с n показателем преломления по сравнению с характерным размером преграды, например, (рис. 10.1.0.36) d шириной щели, а значение (10.145)

m параметра, т.е. количества зон Френеля, открываемых этой преградой на Э экране.