Сложные движения точки

§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О₁ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указан­ных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рас­смотрим качение без скольжения колеса вагона по рель­су. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движе­ние точки на ободе колеса является составным или сложным.

Введем следующие определения:

1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис. 53) называется абсолютным.

2. Движение точки относительно подвижной системы координат O₁ξηζ называется населенным.

3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О₁ ξηζ, относи­тельно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.

Таким образом, переносное движение вызвано движением под­вижной системы координат по отношению к неподвижной. В приве­денном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О₁ ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.

Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив коор­динаты точки х, у,z как функции времени:

х=х(t), у = у(t), z = z(t).

Уравнения относительного движения точки имеют вид

ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).

В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравне­ния абсолютной траектории, а уравнения (11.77) — соответственно уравнения относительной траектории.

Различают также абсолютную, переносную и от­носительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсо­лютную скорость обозначают υ_a, относительную — υ_r, переносную — υ_е Соответственно ускорения обознача­ют: ω_а, ω_r и ω_е.

Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и под­вижной.

Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускоре­ний в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.

Теорема о сложении скоростей

Теорема. При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ_a равна векторной сумме отно­сительной υ_r и переносной υ_е скоростей.

Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы коор­динат Оξηζ через ω. Положение точки М определяется радиусом-вектором r.

Установим соотношение между скоростями точки М по отноше­нию к двум системам координат — неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы

Из кинематики точки известно, что первая производная от ра­диуса-вектора движущейся точки по времени выражает скорость этой точки. Поэтому = r = υ_а — абсолютная скорость, =υ_r — относительная скорость,

а ω x r = υ_е — переносная ско­рость точки М. Следовательно,

υ_а= υ_r+ υ_е

Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:

υ_a=

В некоторых задачах кинематики требуется определить относи­тельную скорость υ_r. Из (11.79) следует

υ_r= υ_а+( - υ_е ).

Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с век­тором, равным по абсолютной величине, но противоположно направ­ленным переносной скорости.

§ 4. Ускорение точки в сложном движении. Теорема Кориолиса

В случае сложного движения точки, независимо от характера переносного движения, абсолютная скорость точки определяется по правилу параллелограмма скоростей. Однако характер перенос­ного движения существенно влияет на определение абсолютного ускорения точки. Как будет показано ниже, при поступательном дви­жении подвижной системы координат абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма ускорений, т. е. скла­дывается из переносного и относительного ускорений. Если же дви­жение подвижной системы координат не является поступательным, то кроме переносного и относительного ускорений появляется доба­вочное ускорение, называемое поворотным или кориолисовым. Ска­занное вытекает из теоремы, носящей название теоремы Кориолиса.

Теорема Кориолиса. Если переносное движение является враща­тельным, то абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

По определению ускорения точки получим

ω_a=

Так как переносное движение вращательное, то по формуле Эйлера (11.69)

υ_e=ω_e x r,

где ω_e — мгновенная угловая скорость переносного движения; r — радиус-вектор точки.

Дифференцируя по времени, получим

На основании (11.78)

Следовательно,

где

ε_е х r = ω_eτ, ω_е х υ_е = ω_en, ε_е х r + ω_е х υ_е = ω_e.

Поэтому

= ω_e+ ω_e x υ_r

Пользуясь понятием локальной производной (11.78), найдем

где . Следовательно,

= ω_r+ ω_e x υ_r.

Таким образом,

ω_a = ω_e+ ω_e x υ_r + ω_r+ ω_e x υ_r ,

или

ω_a = ω_e+ ω_r + 2ω_e x υ_r .

Итак, в выражение абсолютного ускорения точки кроме перенос­ного ω_e и относительного ω_r ускорений входит дополнительное сла­гаемое 2ω_e x υ_r называемое поворотным или кориолисовым уско­рением ω_c:

ω_c = 2ω_e x υ_r. Поэтому

ω_a= ω_e+ ω_r+ ω_c.

Физический смысл Кориолисовa ускорения

Чтобы уяснить физический смысл кориолисова ускорения, нужно выяснить причины появления этого ускорения. Покажем, что причинами появления этого ускорения являются изменения вектора относительной скорости, вызванные переносным движением и изменение вектора переносной скорости, вызванное относительным движением точки.

Действительно, рассмотрим, например, движение точки М вдоль двух отрезков ОА и О₁А₁ , из которых ОА движется поступательно, а О₁А₁ вращается вокруг оси О₁, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 58, а).

Так как переносное движение точки М, движущейся по ОА, вызвано поступательным движением отрезка ОА, то пере­носные скорости этой точки в любых ее положениях на отрез­ке ОА будут равны между собой. Переносные же скорости точки М₁, движущейся по вращающемуся отрезку О₁А₁, в разных ее положениях будут различными, т. е. ,

Таким образом, переносная скорость точки М₁ изменяется в зависимости от ее относительного движения. Следовательно, скорость изменения этой скорости точки во времени, т.е. получаемое добавочное ускорение, будет пропорционально величине относительной скорости υ_r и угловой скорости переносного движения ω_е.

В этом заключается первая причина появления кориолисова ускорения. Второй причиной появления этого ускорения является следующая. Относительная скорость точки М₁, т. е. υ_rМ1 , зависит от переносного вращатель­ного движения отрезка О₁М₁, так как при вращении последнего будет изменя­ться направление относительной скорости (рис. 58, б). Следовательно, скорость изменения скорости точки во времени, т. е. ускорение точки, зависящая от ука­занной выше причины, будет также пропорциональна величине относительной скорости υ_r и угловой скорости переносного движения ω_е. О. И. Сомов обратил внимание на то, что кориолисово ускорение как бы поворачивает относительную скорость υ_r в направлении переносного вращательного движения. Это послужило поводом О. И. Сомову назвать это ускорение поворотным.

Приведенный пример наглядно иллюстрирует механизм появле­ния поворотного ускорения. В общем случае физический смысл этого ускорения выясняется из формул § 4 настоящей главы: изменение переносной непоступательной скорости во времени вызывается не только переносным, но и относительным движением точки. Соот­ветствующее дополнительное ускорение равно ω_e x υ_r. Изменение относительной скорости во времени вызывается не только относи­тельным, но и переносным движением точки при непоступательном движении подвижной системы координат. Соответствующее допол­нительное ускорение равно ω_e x υ_r . Таким образом, дополнитель­ные ускорения точки, обусловленные обеими указанными причинами, равны между собой. Общее дополнительное (кориолисово) ускорение, появление которого связано со взаимным влиянием друг на друга отно­сительного и переносного движений точки при непоступательном движении подвижной системы координат, равно удвоенной величине ω_e x υ_r в соответствии с формулой (II. 82).

СИНТЕЗ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. Общие замечания

В гл. II были рассмотрены простейшие движения твердого тела — поступательное и вращательное вокруг неподвижной оси. Однако движение твердого тела, как и движение точки (гл. III), может быть сложным.

Пусть тело А совершает некоторое движение относительно системы координат O₁ξηζ, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат Охуz. Как и в кинематике сложного движения точки, введем следующие определения: движение тела А относительно неподвижной системы координат называется абсолютным; относительным называется движение тела относительно подвижной системы координат.

Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между характеристиками абсолютного и относительного движений.

Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных движений, вращательных движений, или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений.

В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других — требуется определить сложное движение твердого тела как результат сложения более простых движений (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений).

§ 2. Сложение поступательных движений твердого тела

Теорема. В результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела получается результирующее мгновенно поступательное движение.

Доказательство. Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенных поступательных движениях, из которых одно является относительным со скоростью υ₁ а второе — переносным со скоростью υ₂.

По теореме о параллелограмме скоростей имеем для любой точки твердого тела

υ_а = υ_r + υ_e = υ₁+ υ₂,

а так как и относительное, и переносное движения твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (II.98), абсолютные скорости всех точек тела соответственно между собой равны в каждый момент времени, т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным. Теорема доказана.

Очевидно, что данная теорема применима к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движении; тогда в общем случае

Заметим, что мгновенно поступательное твердого тела отличается от поступательного тем, что во втором случае в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, между тем, как в первом случае в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела.

ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. Общие замечания

Плоско-параллельным (или плоским) движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Из определения плоско-параллельного движения следует, что движения точек тела, расположенных на перпендикуляре к неподвижной плоскости, одинаковы. Поэтому, вместо движения всего тела в пространстве, можно рассмотреть движение плоской фигуры S, являющейся проекцией тела на непо­движную плоскость.

Нетрудно показать, что, зная движение некоторого отрезка плоской фигуры S, можно определить дви­жение всей фигуры. Пусть отрезок АВ плоской фи­гуры занимает положение, указанное на рис. 68. По­ложение произвольной точки М плоской фигуры определим, соединив эту точку с точками А и В отрезка. Если отрезок АВ изменит свое положение и перейдет в новое положение А₁В₁, то для определения нового положения этой точки достаточно построить треугольник А₁В₁М₁, равный треугольнику АВМ. Так как стороны треугольников, как расстояния между двумя точками абсолютно твердого тела, остаются неизмененными, то А₁В₁ = АВ; АМ= А₁М₁; ВМ =В₁М₁. Таким образом, кинематика плоско-параллельного движения тела сводится к кинематике движения отрезка прямой на плоскости.

§ 3. Кинематические уравнения плоско-параллельного движения

Допустим, что плоская фигура движется в неподвиж­ной плоскости Оху. Выбрав, например, точку А плоской фигуры за полюс, неизменно свяжем с этой фигурой подвижную систему координат Аξη с началом в полюсе А (рис. 70). Для определения положения подвижной системы координат Аξη относительно не­подвижной нужно знать координаты точки А (т. е. х_A и у_A), а также угол поворота φ вокруг полюса (т. е. угол, образованный осью Аξη с осью Ох). Следователь­но, кинематические уравнения плоско-параллельного движения твердого тела имеют вид

x_A= x_A(t) . y_A = y_A (t). φ = φ (t),

где x_A(t) y_A (t), φ (t)— конечные, однозначные, непрерывные и дифференцируемые функции времени.

Пользуясь формулами преобразования координат, можно полу­чить уравнения движения любой точки М плоской фигуры

x = x_A + ξcos φ —ηsin φ,

y = y_A + ξsin φ + ηcos φ -

§ 4. Скорости точек тела

Теорема. При плоско-параллельном движении твердого тела скорость любой его точки равна векторной сумме скорости полюса и скорости во вращательном движении вокруг полюса.

Доказательство. Пусть полюс О движется со скоростью υ₀, а плоская фигура вращается вокруг полюса с угловой скоростью ω (рис. 71). Требуется определить скорость произвольной точки М этой фигуры. Так как переносным здесь является поступательное движение вместе с полюсом О, то переносные скорости всех точек плоской фигуры будут одинаковыми, равными скорости полюса:

υ_Me= υ₀

Относительным движением является вращательное движение вокруг полюса. Поэтому, обозначая радиус-вектор точки М относитель­но полюса О через r_OM , согласно формуле Эйлера, для относительной скорости точки М получим

υ_Mr= ω x r_OM.

Относительную скорость точки при плоско-парал­лельном движении тела обозначают двойным индексом, т. е. υ_Mr = υ_OM. Первый индекс указывает полюс О, вокруг которого происходит вращение, а второй — обозначает рассматриваемую точку М. Следовательно,

υ_Mr= υ_OM= ω x r_OM

По теореме о сложении скоростей получим

υ_a=υ_e+υ_r.

Следовательно,

υ_M=υ_O+υ_OM.

или

υ_M= υ_O+ ω x r_OM

§ 5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Из доказанной теоремы вытекает следствие: проекции скоростей концов неизменяемого отрезка на направление этого отрезка равны между собой.

Действительно, так как относительная скорость υ_OM перпенди­кулярна к радиусу - вектору ОМ = r_OM, то, проектируя обе части векторного равенства (11.95) на направление отрезка ОМ, получим

пp υ_M(ОМ) = пр υ_0(ОМ).

§ 6. План скоростей

В инженерной практике при определении скоростей точек плоских механизмов пользуются графическим методом, именуемым планом скоростей.

План скоростей — это чертеж, изображающий векторы скоростей точек плоской фигуры в фиксированный момент времени ее движения. Для построения плана скоростей нужно знать величину и направление скорости одной точки и направление скорости второй точкой плоской фигуры. Затем следует применить теорему о нахождении скоростей точек тела при плоско – параллельном движении.

Пусть в некоторый момент времени задана скорость точки А и направление скорости точки В плоской фигуры. Требуется найти величину скорости υ_В точки В и скорость υ_С любой точки С (рис.72, а). Выбирая точку А за полюс, по формуле (ІІ.95) получим

υ_В= υ_А+ υ_АВ

где скорость υ_АВ перпендикулярна АВ.

Из произвольного полюса О в выбранном масштабе откладываем вектор Оа= υ_А (рис. 72, б). Из точки а проводим прямую ab , перпендикулярную АВ, а из полюса – прямую, параллельную направлению искомой скорости точки В до взаимного пересечения в точке b. Вектор Оb представляет собой в выбранном масштабе скорость точки b: Оb= υ_В. Вектор ab равен скорости точки В во вращательном движении вокруг точки А, т.е. ab= υ_АВ. Так как скорость точки С неизвестна ни по величине, ни по направлению, то составим для ее определения два уравнения, выбирая сначала за полюс точку А, а затем – точку В, и применяя формулу (ІІ.95). Получим υ_С= υ_А+ υ_АС, υ_С= υ_В+ υ_ВС , где υ_АС – перпендикулярна АС и υ_ВС – перпендикулярна ВС. Тогда соответственно из точек а и b проводим прямые, перпендикулярные АС и ВС до взаимного пересечения в точке с (рис. 72, б). Вектор Ос в выбранном масштабе равен скорости точки С: Ос= υ_С. Соответственно ас= υ_АС, bc= υ_ВС. Полученная фигура называется планом скоростей. На плане скоростей получается фигура, подобная данной, но повернутая на угол в сторону вращения рассматриваемой плоской фигуры. Действительно, треугольник abc на плане скоростей подобен треугольнику АВС плоской фигуры. Отношение подобие этих фигур равна величине угловой скорости вращения плоской фигуры, т.е.

или