Различные случаи преобразования системы сил

§ 1. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей

Если главный вектор R и главный момент Мо системы сил вза­имно перпендикулярны, то пространственная система сил приво­дится к равнодействующей. Действительно, пусть в точке О угол φ между R и Мо (рис. 21) равен . Главный момент Мо заменяем парой из сил (R, —R) и с плечом .В точке О силы (R и —R) уравновешиваются и остается равнодейст­вующая сила R, приложенная в точке А.

Докажем теорему Вариньона о моменте равнодействую­щей в общем виде.

Если пространственная система сил имеет равно­действующую, то ее момент относительно некоторой точ­ки равен векторной сумме моментов составляющих сил. Действительно, момент равнодействующей R относительно точки О (рис. 21) равен Мо (R) = hR, но h = , где Мо — величина

главного момента системы сил. Следовательно,

M₀(R)=

или

M₀(R)=M₀

Поэтому получим:

M₀(R)=M₀

По определению главного момента системы сил окончательно получим

М₀(R)= ,

что и требовалось доказать.

Из (1.42) следует, что момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил отно­сительно той же оси. Например,

Мz (R) = .

§ 2. Приведение пространственной системы сил к паре

Если главный вектор R = 0, а главный момент системы сил Мо не равен нулю, то система сил приводится к паре. Момент этой пары равен главному моменту рассматриваемой системы сил:

М = М₀ =

В частности, произвольная система пар сил эквивалентна од­ной паре сил, момент которой равен геометрической сумме моментов всех пар сил системы (теорема о сложении пар сил):

M=

Отсюда следует, что произвольная система пар сил уравновеши­вается, когда векторная сумма моментов пар сил составляющих равна нулю, т. е. когда многоугольник моментов пар сил является замкнутым (условие равновесия системы пар сил):

Если все пары сил системы расположены в одной плоскости, то в случае ее равновесия алгебраическая сумма моментов пар сил состав­ляющих равна нулю.

Центр параллельных сил. Центр тяжести

Центр параллельных сил

Центром параллельных сил называется точка на линии действия ее равнодействующей, не изменяющая своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.

Пусть задана система параллельных сил F₁, F₂, ..., F_n, соответственно приложенных в точках А₁(х₁, у₁, z₁), А₂ (х₂, у₂, z₂),:.. ..., А_n (х_n, у_n, z_n) (рис. 29). Проекция рав­нодействующей этой системы сил на ось 2, параллельную им, равна алгебраической сум­ме проекций составляющих сил:

Rz= , или R=

Зная координаты точек приложения параллельных сил, опреде­лим положение центра параллельных сил, применив теорему Вариньона о моменте равнодействующей.

Для определения координаты хс центра параллельных сил со­ставим уравнение моментов сил относительно оси у. Получим

Му(R)=

или

Rxc=

откуда

Xc=

Аналогично найдем

Yc=

Для определения координаты 2с центра параллельных сил по­вернем сначала все силы на один и тот же угол а, например на угол а = (рис. 29), и составим уравнение моментов сил относительно оси х. Получим

Rzc=

откуда

Zc=

Следовательно, координаты центра параллельных сил опреде­ляются по формулам

Xc= , Yc= , Zc=

Понятие о центре тяжести тела

Согласно закону всемирного тяготения, на все частицы тела, которое находится вблизи земной поверхности, действуют силы при­тяжения к Земле, называемые силами тяжести. В связи с неболь­шими размерами тела по сравнению с радиусом Земли силы тяжести отдельных частиц тела с достаточно большой точностью можно счи­тать между собой параллельными.

Силой тяжести, или весом, называется равнодействующая парал­лельных сил тяжести отдельных частиц тела. Силу тяжести будем обозначать буквой Р.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела. Положение центра тяжести тела зависит только от формы тела и распределения в теле его частиц.

Из курса физики известно, что, в зависимости от положения цент­ра тяжести, различают три формы равновесия: устойчивое, неустой­чивое и безразличное. Поэтому вопрос о центре тяжести рассматри­вается в статике.

Центр тяжести неоднородного тела

Пусть неоднородное тело М произвольной формы (рис. 30) разбито на «элементов. Обозначим вес i-го элемента через ΔPi_;. Точка приложения силы ΔPi; находится внут­ри элемента. Однако, где именно внутри элемента нахо­дится эта точка, мы не знаем. В зависимости от выбора координат этой точки, формулы (1.51), в которых следу­ет положить Fi = ΔPi, дадут нам приближенное значение координат центра тяжести тела. Для точного

определения

п оложения центра тяжести тела нужно в формулах (1.51) совершить предельный переход, считая, что объем каждого элемента стремится к нулю, а число элементов неограниченно возрастает (n ∞). Получим:

Xc= , Yc= , Zc= ,

где р — вес тела.

Как известно из математического анализа, пределы сумм, стоя­щие в числителе формул (1.52), не зависят от выбора точек Аi (Xi, Yi, Zi) приложения сил ΔPi; и представляют собой интегралы вида

, ,

распространенные на весь объем V тела М. Таким образом,

Xc= , Yc= , Zc= ,

Центр тяжести однородного тела

Если тело однородно, то удельный вес его постоянный (γ=const). Тогда вес тела р будет равен р = γV , а dр = γdV. Здесь V обозначает объем тела, dV — элементарный объем. Подставляя эти значения в формулы (1.53), получим выражения для координат центра тяжести однородного тела:

Xc= , Yc= , Zc= ,

Как видно из формул (1.54), центр тяжести однородного тела является центром тяжести его объема. Интегралы, стоящие в числи­телях формул (1.54), называются статическими моментами объема тела относительно соответствующих координатных плоскостей. Так, интеграл есть статический момент тела относительно плоскости Оуz, интеграл — относительно Охz и интеграл —относительно плоскости Оху.

Центр тяжести площади плоской фигуры

Определение центра тяжести площади плоской фигуры в теоретической механике представляет особый интерес. Здесь возможны два случая: 1) плоская фигура ограничена ломаной линией (рис 31); 2) плоская фигура ограничена криволинейным контуром (рис 32). В первом случае фигуру разбивают на элементарные фигуры, положение центров тяжести которых известны, и применяют формулы для координат центра параллельных сил (1.51).

В случае однородной плоской фигуры сила тяжести пропорциональна ее площади р=γS, где S – площадь, γ – вес единицы площади. Тогда получим:

Xc= , Yc=

Если плоская фигура ограничена криволинейным контуром, то получим:

Xc= , Yc=

где интеграл , распространенный на всю площадь плоской фигуры, называется статическим моментом этой площади относительно оси у и

обозначается через Му. Соответственно интеграл называется статическим моментом площади S плоской фигуры относительно оси х и обозначается через Мх, т.е.

Мх= , Му= .

Таким образом, формулы (1,56) принимает вид

Хс= , Yc= .

Центр тяжести линии

К этому понятию приходим, рассматривая однородное тело, например проволоку, с постоянной площадью поперечного сечения а и длинной l.

Итак, пусть требуется определить координаты центра тяжести линии АВ длиною l (рис 33). В случае однородной линии ее вес пропорционален длине (р=γ l), вес элемента dр = γdl, γ — вес единицы длины (γ = сonst). Следова­тельно, по формулам (1.53) получим

Xc= , Yc= , Zc=

_{Интегралы в (1.58) являются криволинейными}