§ 1. О допущениях в приближенной теории гироскопов

Рассмотрим вращение гироскопа вокруг неподвижной точ­ки О, лежащей на оси симметрии O_ξ, (рис. 123), с угловой скоростью ω₁.В свою очередь ось симметрии O_ζ вращается вокруг вертикальной оси Оz с угловой скоростью ω₂, весьма малой по сравнению с ω₁. Следует заметить, что гироскопы, применяемые в современной технике, имеют большую скорость вращения вокруг оси материальной симметрии по сравнению с угловыми скоростями относительно других осей.

Для применения гироскопа нужно знать движение его оси. Это движение можно изучить, зная кинетический момент ги­роскопа относительно его неподвижной точки. Однако угло­вые скорости прецессии ω₂=ψ и нутации ω₃=θ очень малы по сравнению с угловой скоростью ω₁=φ собственного вращения (ω₁» ω₂; ω₁» ω₃). Угол нутации θ также медленно изменяется и приближенно его можно считать постоянным.

По формуле (11.112) мгновенная угловая скорость ω гироскопа равна

ω= ω₁+ ω₂+ ω₃.

Из-за малости ω₂ и при θ = соnst, ω₃ = θ приближенно можно принять, что ω≈ ω₁. Поэтому в приближенной теории гироскопа результирующую мгновенную угловую скорость о направляют по оси симметрии гироскопа

Указанному допущению кинематического характера соответствует следующее допущение динамического характера: проекция кинетического момента гироскопа L₀ относительно неподвижной точки О на ось симметрии гироскопа O_ζ, значительно превышает его проекции на оси O_ξ и О_η:

Это условие является основным в приближенной тео­рии гироскопов. Оно равносильно тому, что кинетичес­кий момент гироскопа относительно неподвижной точки мало отклоняется от оси симметрии O_ζ. Поэтому кинетический момент L₀ направляют по оси O_ζ и выражают формулой

L_O=I_ζω₁.

В приближенной теории гироскопа прецессию оси гироскопа счи­тают регулярной, т. е. ось O_ζ, (рис. 124) равномерно вращается во­круг вертикальной оси Оz с угловой скоростью ω₂, описывая поверх­ность кругового конуса. Кроме того, пренебрегают нутацией, полагая θ =α =соnst. Следует заметить, что движение гироско­па является одним из примеров регулярной прецессии.

§ 2. Основное уравнение приближенной теории гироскопов

Основное уравнение приближенной теории гироскопов полу­чается в результате применения теоремы Резаля (111.94)

и = Мо,

где и — скорость конца вектора кинетического момента L_O, М_O — главный момент внешних сил относительно неподвижной точки О. Вектор L_O, согласно принятым допущениям, вращается вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью ω₂. Следовательно, по формуле

и = ω₂×L_O.

Подставляя значение L_O из (111.234), найдем

и = I_ζ ω₂× ω₁.

Таким образом,

М_O= I_ζ ω₂× ω₁.

Это равенство является основным уравнением в приближенной теории гироскопа. По направлению главный момент М_O перпендикулярен плоскости, определяемой векторами ω₁ и ω₂ . Модуль век­тора М_O будет

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УДАРА

§ 1. Общие замечания

Ударом называется особый вид движения материальной системы, когда за весьма малый промежуток времени (продолжительность удара) скорости точек системы получают конечные приращения. Удар, по Остроградскому, можно рассматривать как результат наложения нестационарных связей, быстро изменяющихся во времени. Изучая удар двух тел, следует обратить внимание на характер сил, действую­щих при ударе. Благодаря очень малой величине продолжительности удара импульсы обыкновенных, не ударных сил (сил тяжести, сил сопротивления и др.) также весьма малы. Поэтому в теории удара ими пренебрегают и учитывают только конечные импульсы мгновенных, ударных сил, достигающих больших величин. Теоретически ударные силы считаются бесконечно большими. Однако на протяжении весьма малого промежутка времени продолжительности удара они создают конечные импульсы.

Теория удара особо важна потому, что в современной технике приходится сталкиваться с такими случаями, когда быстро вращаю­щиеся детали машин при соприкосновении друг с другом ведут себя как тела при ударе.

Более глубокое исследование удара связано с определением де­формаций и напряжений, возникающих при соударении твердых тел. Эта область исследований относится к динамическим проблемам ме­ханики деформируемого твердого тела и выходит за рамки курса теоретической механики. Мы ограничимся изучением элементарной теории удара, основанной на исследованиях И. Ньютона.

Рассматривая соударение двух тел в элементарной теории удара, определим импульс мгновенных сил, скорости соударяемых тел после удара, а также потерю кинетической энергии при ударе, вызванную переходом части механической энергии в другие формы, напри­мер, в тепловую энергию неупругой деформации соударяющихся тел.

Заметим, что мгновенные силы измеряются их импульсами

где t₀ и t₀+τ — моменты, соответствующие началу и концу удара, τ — продолжительность удара.

Перемещение любой точки системы при ударе является величиной того же порядка малости, что и продолжительность удара τ.

Действительно, согласно основному уравнению динамики мате­риальной точки, имеем

откуда

Следовательно,

Но по теореме о среднем значении интеграла

Теорема доказана.

При малом значении τ величиной Δr можно пренебречь, что и де­лают при решении задач на соударение точек материальной системы.