Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает одной возможное числовое значение.

Случайные величины (с.в.) обозначаются заглавными латинскими буква­ми (см. например, ).

Дискретная случайная величина имеет конечное или счетное множество значений. Закон распределения дискретное с.в. Х – это перечень ее возможных значений и соответствующих вероятностей. Закон распределения дискретной с.в. Х записывается в виде ряда распределения:

Значения (х)			…		…	(1)
Вероятности (р)			…		…

Здесь .

Непрерывная с.в. принимает любые значения некоторого (возможно, бесконечного) интервала.

Функция распределения с.в. Х – это функция, определенная равенством:

.

Свойства функции распределения:

1)

2) – неубывающая функция;

3) ;

4) если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а,b), то

при

при

5) .

Числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание дискретной с.в. определяется формулой:

где – знак суммирования.

Математическое ожидание обозначается также буквой , возможно с ин­дексом, например .

Перечислим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание константы равно этой константе: МС=С.

2. Если С – константа, то М(СХ)=СМХ.

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий. (Из этих свойств следует, что ).

4. Если с.в. , независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий:

.

Дисперсия дискретной с.в. Х, имеющей закон распределения (1) и математическое ожидание , определяется формулой:

.

Дисперсия обозначается также , возможно, с индексом. Можно также доказать, что

Последняя формула иногда бывает удобней для вычислений.

Перечислим свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Если С – константа, то .

3. Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется величина .

Задача 7. Дано распределение дискретной случайной величины Х:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,1	0,3	0,3

Найти функцию распределения .

Решение

Если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

^{если , то}

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

График полученной функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

Задача 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной следующим законом распределения:

xi	-2	0	1	2
pi	0,5	0,1	0,2	0,2

Решение

Вычислим математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

.

Далее вычислим дисперсию дискретной случайной величины Х:

,

а также среднее квадратическое отклонение:

.

Ответ: MX = –0,4; DX = 2,84; σX = 1,65.

Нормальное распределение. Если плотность распределения непрерывной случайности величины X равна

,

то говорят, что с.в. X имеет нормальное распределение; . Если X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ и средним квадратическим отклонением , то вероятности, связанные с X, вычисляются по формулам

,

,

,

где Ф(x) – функция Лапласа; значения функции Лапласа приведены в таблице Приложения 1.

Задача 9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Написать плотность распределения вероятностей и найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (12; 14).

Решение

В нашем случае а = 10, σ = 2, так как случайная величина распределена по нормальному закону, то ее плотность находим следующим образом:

.

Вероятность того, что распределенная по нормальному закону случайная величина Х примет значение из интервала (12;14), находится следующим образом:

.

Ответ: .