Математическая статистика

Введение. Статистические методы связаны с обработкой числовых данных, полученных в результате измерений или наблюдений. Источник наблюдений или измерений называется популяцией или генеральной совокупностью. Множество измеренных числовых значений называется выборкой; чис­ла, составляющие выборку – это выборочные значения. Объем выборки – это количество выборочных значений; если их n, то говорят, что имеется выборка объема n. Основная задача статистики – на основе выборочных данных сделать выводы о популяции.

Для того чтобы по выборке можно было адекватно судить о случайной величине, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора ее элементов, так как все элементы генеральной совокупности должны иметь одинаковую вероятность попадания в выборку.

Имеются два способа образования выборки:

1. повторная выборка, когда каждый элемент, случайно отобранный и исследованный, возвращается в общую совокупность и может быть отобран повторно;

2. бесповторная выборка, когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.

Понятие вариационного ряда. Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной Х. Рассмотрим выборку объема n из генеральной совокупности. Элементы этой выборки представляют собой значения случайной величины Х.

На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел по возрастанию.

Различные элементы выборки называются вариантами. Частотой варианты х_i называется число m_i, показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке. Относительной частотой или долей варианты называется число . Частоты и относительные частоты называются весами.

Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими им весами называется вариационным рядом. Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными. Вариационный ряд называется дискретным, если он представляет собой выборку значений дискретной случайной величины. Ряд называется интервальным, если он представляет выборку непрерывной случайной величины. Общий вид дискретного вариационного и интервального ряда показан в табл. 1, 2.

Таблица 1

Дискретный вариационный ряд

Варианты хi

Таблица 2

Интервальный вариационный ряд

Варианты хi

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример. Задано распределение частот выборки:

хi	2	6	12
	3	10	7

Написать распределение относительных частот.

Сначала находим объем выборки и относительные частоты:

Запишем распределение относительных частот:

хi	2	6	12
	0,15	0,6	0,35

Для наглядности представления используют графические изображения вариационных рядов в виде полигона и гистограммы.

Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляют собой ломанную, соединяющую точку плоскости с координатами Для интервального ряда также строится полигон, только его ломанная проходит через точки

Гистограмма служит для представления вариационных рядов и имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов , и высотами, равными частотам m_i интервалов.

Числовые характеристики вариационных рядов. Выборочное среднее значение (арифметическая средняя, выборочное среднее) определяется формулой

(1)

или

. (2)

В формуле (1), (2) n – объем выборки, к – число интервалов группировки, – середина j интервала группировки, – соответствующая частота.

Выборочная дисперсия определяется формулой

. (3)

Если проведена группировка и получен интервальный вариационный ряд, то выборочную дисперсию можно вычислять по формуле

, (4)

где к – число интервалов группировки, – середина j интервала группировки, – соответствующая частота.

Оценка параметров генеральной совокупности. Рассматривается распределение случайной величины, зависящее от параметра . Статистической оценкой ^* параметра называется функция от наблюдаемых выборочных значений. Точечная оценка – это число ^*= ; здесь n – объем выборки. Точечной оценкой математического ожидания служит обычно выборочное среднее значение , вычисляемое по формулам (1), (2). Точечной оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия , определяемая формулами (3), (4).

Точечная оценка ^* параметра дает лишь некоторое приближенное значение . Чтобы получить представление о точности и надежности оценки, используют интервальную оценку параметра.

Интервальной оценкой параметра называется интервал , который с заданной вероятностью покрывает неизвестное значение параметра .

Такой интервал называется доверительным интервалом, а вероятность – доверительной вероятностью, или уровнем надежности. Обычно доверительный интервал симметричен относительно оценки ^*, тогда он определяется формулой

(4)

и имеет вид

, (5)

т.е.

(6)

выполняется с вероятностью .

Наибольшее отклонение выборочного значения параметра от его истинного значения называется предельной ошибкой выборки.

При малом числе наблюдений точечные оценки могут приводить к ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, пользуются интервальными оценками, которые определяются двумя числами – концами интервала (в котором заключена оцениваемая величина с заданной вероятностью). Таким образом, задача сводится к отысканию такого интервала (его называют доверительным), который с заданной вероятностью  (ее называют надежностью) покрывает оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999.

В частности, при надежности  = 0,95 доверительный интервал для оцен­ки математического ожидания a нормального распределения (по выборочной средней выборки объема n, при известном ) находят по формуле

Если доверительный интервал найден, то с надежностью 0,95 можно считать, что оцениваемый параметр заключен в этом интервале.

Задача 10. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю = 10,43 (статистическую среднюю ), объем выборки (число наблюдений) n = 100 и среднее квадратическое отклонение  = 5.

Решение

Воспользуемся формулой

Подставив сюда данные задачи, получим

или окончательно

Приложение 1

Таблица значений функции

	Сотые доли
х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4	0,0000 0398 0793 1179 1554	0040 0438 0832 1217 1591	0080 0478 0871 1255 1628	0120 0517 0910 1293 1664	0160 0557 0948 1331 1700	0199 0596 0987 1368 1736	0239 0636 1026 1406 1772	0279 0675 1064 1443 1808	0319 0714 1103 1480 1844	0359 0753 1141 1517 1879
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	1915 2257 2580 2881 3159	1950 2291 2611 2910 3186	1985 2324 2642 2939 3212	2019 2357 2673 2967 3238	2054 2389 2704 2995 3264	2088 2422 2734 3023 3289	2123 2454 2764 3051 3315	2157 2486 2794 3078 3340	2190 2517 2823 3106 3365	2224 2549 2852 3133 3389
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4	3413 3643 3849 4032 4192	3438 3665 3869 4049 4207	3461 3686 3888 4066 4222	3485 3708 3907 4082 4236	3508 3729 3925 4099 4251	3531 3749 3944 4115 4265	3554 3770 3962 4131 4279	3577 3790 3980 4147 4292	3599 3810 3997 4162 4306	3621 3830 4015 4177 4319
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	4332 4452 4554 4641 4713	4345 4463 4564 4649 4719	4357 4474 4573 4656 4726	4370 4484 4582 4664 4732	4382 4495 4591 4671 4738	4394 4505 4599 4678 4744	4406 4515 4608 4686 4750	4418 4525 4616 4693 4756	4429 4535 4625 4699 4761	4441 4545 4633 4706 4767
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4	4772 4821 4861 4893 4918	4778 4826 4864 4896 4920	4783 4830 4868 4898 4922	4788 4834 4871 4901 4925	4793 4838 4875 4904 4927	4798 4842 4878 4906 4929	4803 4846 4881 4909 4931	4808 4850 4884 4911 4932	4812 4854 4887 4913 4934	4817 4857 4890 4916 4936
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	4938 4953 4965 4974 4981	4940 4955 4966 4975 4982	4941 4956 4967 4976 4982	4943 4957 4968 4977 4983	4945 4959 4969 4977 4984	4946 4960 4970 4978 4984	4948 4961 4071 4979 4985	4949 4962 4972 4979 4985	4951 4963 4973 4980 4986	4952 4964 4974 4981 4986
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4	4987 4990 4993 4995 4997	4987 4991 4993 4995 4997	4987 4991 4994 4995 4997	4988 4991 4994 4996 4997	4988 4992 4994 4996 4997	4989 4992 4994 4996 4997	4989 4992 4994 4996 4997	4989 4992 4995 4996 4997	4990 4993 4995 4996 4997	4990 4993 4995 4997 4998
3,5 3,6 3,7	4998 4998 4999	4998 4998 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999	4998 4999 4999