19. Теорема Гаусса-Маркова. Полнофакторный эксперимент типа .

Для линейной модели вида

наилучшей линейной несмещенной оценкой является оценка

где М - квадратная матрица размера m на m, которая вычисляется по формуле

(здесь надо отличать векторные функции от

матрицы

Предполагается, что M – неособенная матрица. Если воспользоваться

представлением уравнений , то для вычисления элементов матрицы M имеем формулы

Вектор правых частей в (4.19) вычисляется по формуле:

Для компонент вектора эта формула имеет вид:

Матрицу М называют информационной матрицей, а полученную

таким образом оценку значений называют оценкой по методу наименьших квадратов.

Матрица вариаций оценки равна

Оценка (4.19) справедливы для случая, когда дисперсии ошибок

экспериментов заданы.

- Полнофакторный эксперимент типа .

В качестве функции отклика при полном факторном эксперименте для случая трех факторов рассматривается следующий полином:

Общее количество опытов при этом будет . После того, как в реальной физической задаче такого типа будет сделан переход к кодированным переменным, которые теперь могут принимать значения «+1» и «-1», условия экспериментов записывают в виде матрицы планирования, которая для трех факторов записана в виде таблицы 4.1. ([8]).

Строки этой матрицы соответствуют номеру эксперимента, а первые

три столбца дают план изменения контролируемых переменных (факторов).

Столбец для «фиктивной» переменной предназначен для последующей

оценки свободного члена Значение равно «+1» и постоянно во всех

опытах. Столбцы для выходной переменной содержат результаты повторных

(многократных) измерений этой величины. Для обеспечения высокой достоверности результатов требуется значительное число повторений.

Важно то, что полный факторный эксперимент относится к числу ортогональных планов. Преимущество в том, что это резко упрощает расчет коэффициентов регрессии.

1) Вместо прямого решения системы нормальных уравнений используют следующие простые расчетные формулы для коэффициентов регрессии:

где j – номер фактора, N – количество опытных точек в плане, i – номер опытной точки в плане (номер строки).

Величина

дает средний отклик (выходной сигнал) по числу повторений опытов в точке с номером i (r – число повторных опытов). При варьировании каждого фактора на двух уровнях в пределах «+1», «-1» вычисления сводятся к тому, что элементы столбца для выходной переменной суммируются с учетом поправки на знак в столбце соответствующего фактора, а затем делятся на количество опытных точек в плане.

2) Так же просто определяются и дисперсии (построчные) для каждой из опытных точек i:

3) После этого находится так называемая дисперсия воспроизводимости:

4) По критерию Кочрена проверяется однородность дисперсий. Для этого вычисляется отношение максимальной построчной дисперсии к дисперсии воспроизводимости:

По таблицам определяют значение критерия Кочрена для степеней свободы для уровня значимости то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

5) По T-критерию Стьюдента проверяется значимость коэффициентов модели. Для этого находится дисперсия коэффициентов регрессии:

По таблицам определяют критическое значение Tкр критерия Стьюдента для степеней свободы и уровня значимости . По этому значению строят интервал длиной - половина длины доверительного интервала. Если абсолютная величина коэффициента , то коэффициент считается значащим (им нельзя пренебречь).

6) Проверяют адекватность модели на основе критерия Фишера. С этой целью вычисляют дисперсию адекватности:

где m – количество членов аппроксимирующего полинома, учитывая и свободный член, а - значение функции отклика, вычисленное по принятой функции регрессии (аппроксимирующему полиному). После этого вычисляют значение критерия Фишера . Из таблиц находят критическое значение критерия Фишера Fкр для степеней свободы Fад=N-m и fk=N(r-1) и заданного уровня значимости . При выполнении условия F<Fкр модель признается адекватной.

1) Вычисляют коэффициент множественной корреляции:

где - среднее значение . Значение этого коэффициента находится в пределах . Если значения R близки к нулю, то коэффициенты регрессии не вносят вклада в изучаемую зависимость. Если же коэффициент R близок к единице, то принятое уравнение регрессии полностью описывает результаты эксперимента.