§ 3. Числові характеристики рівноточних вимірів

Рівноточними, називають виміри, дисперсії яких рівні між собою, тобто . Тому рівноточні виміри можна виразити статистичним рядом

_{х1, х2, ... , хп; . (6.18)}

_{Якщо невідоме істинне значення вимірюваної величини Х, то необхідно знайти значення близьке до істинного. Його називають дійсним, або ймовірним значенням виміряної величини. Воно може бути прийнятим, коли точність вимірів задовольняє поставленим вимогам, або – відхилене. Тому постає задача обчислення за результатами вимірів показників як розміру шуканої величини, так і її точності. Їх називають числовими характеристиками. В теорії похибок вимірів до числових характеристик відносять:}

_{1. Середнє арифметичне}

_{Використаємо ряд вимірів (6.18). Якщо відоме істинне значення вимірюваної величини Х, то визначимо ряд істинних похибок}

_{; (6.19)}

_{Складемо їх і поділимо на п}

_{. (6.20)}

_{За четвертою властивістю компенсації випадкових похибок  ліва частина формули (6.20) наближається до нуля при n  . Позначимо середнє арифметичне}

_{. (6.21)}

_{Тоді отримаємо ймовірне співвідношення}

_{. (6.22)}

_{Принцип арифметичного середнього показує, що при нескінченній кількості вимірів і відсутності систематичних похибок просте арифметичне середнє наближається до істинного значення.}

_{Це означає, що середнє арифметичне буде найбільш точним, або ймовірним значенням виміряної величини.}

_{В § 2 цього розділу стверджується, що як виміри, так і похибки вимірів при дотриманні “комплексу умов” належать нормальному закону розподілу. Тоді і за методом ММП Фішера (§ 3, розд.4) доведено, що середнє арифметичне буде найбільш близьким до істинного.}

_{Практично число вимірів обмежене, тому і обчислене середнє арифметичне буде випадковою величиною, яка може приймати значення в деякому інтервалі, який залежить від числа вимірів та прийнятої довірчої ймовірності р (§ 5, розд.4).}

2. Середня квадратична похибка окремого виміру

_{Теоретично мірою точності вимірів є дисперсія }²_{. За результатами статистичної обробки рядів вимірів визначають емпіричну (або статистичну) дисперсію m}² _{(§ 4, розд.4).}

_{За ММП Фішера доведено, що коли статистичний ряд х1, х2, ..., хп підкоряється нормальному закону розподілу, ефективною оцінкою точності є дисперсія}

_{. (6.23)}

_{Оскільки розмірність дисперсії (“в квадраті”), то за міру точності приймають емпіричний стандарт або середню квадратичну похибку}

_{, (6.24)}

_{де і = хі – Х – істинні похибки.}

_{Її називають формулою Гаусса.}

_{Якщо невідоме істинне значення вимірюваної величини, то за формулою (6.6) використаємо різниці}

_{, (6.25)}

_{де  – систематична похибка.}

_{Коли число вимірів дорівнює n, із формули (6.25) отримаємо}

_{і = Vi +  , . (6.26)}

_{Зведемо вираз (6.26) до квадрату і підсумуємо}

_{[ }²_{] = [V} ²_{] + n}² _{+ 2 [V]. (6.27)}

_{Якщо в формулі (6.4) взяти суму ймовірних похибок V, то отримаємо}

_{. (6.28)}

_{Оскільки середнє арифметичне за формулою (6.21) дорівнює , то в формулі (6.28) отримаємо}

_,

_{або [V] = 0.}

_{Формула (6.28) використовується і для контролю обчислення ймовірних похибок V.}

_{Тоді формула (6.27) зведеться до вигляду}

_[²_{] = [V}²_{] + n}²_{. (6.29)}

_{Якщо вираз (6.29) поділити на n, то з врахуванням формули (6.23) отримаємо}

_{. (6.30)}

_{Істинна похибка  простої арифметичної середини за формулами (6.6) і (6.20) буде}

_{або . (6.31)}

_{Тоді в формулі (6.30) }² _{з врахуванням формули (6.31) буде}

_,

_{або . (6.32)}

_{Згідно з четвертою властивістю випадкових похибок}

_,

_{а формула (6.32) зведеться до вигляду}

_{. (6.33)}

_{З врахуванням формули (6.30) та (6.33) отримаємо}

_.

_{Остаточно отримаємо формулу Бесселя для визначення середньої квадратичної похибки виміру за ймовірними похибками}

_{. (6.34)}