Задачі на поширення світла та його дифракцію Плоскі та сферичні хвилі

Плоска хвиля має комплексну амплітуду

Якщо — направляючі косинуси вектора , то комплексна амплітуда плоскої хвилі:

де . Ці величини — просторові частоти, обернені періодам хвилі, що вимірюються відповідно по осях Просторові частоти часто виражають через кути

Оскільки , то з врахуванням попереднього співвідношення отримуємо наступний вираз: Розв’язавши дане рівняння відносно , визначимо . Звідси комплексна амплітуда плоскої хвилі рівна:

.

Велику зацікавленість представляють параксіальні хвилі, для яких напрям поширення складає дуже малий кут з віссю (кут малий, ). В цьому випадку комплексна амплітуда плоскої хвилі рівна:

тому що

Для сферичної хвилі, що розходиться:

або ,

де – деяка постійна.

Параксіальне наближення для сферичної хвилі має місце в тому випадку, коли

При цьому . Тому комплексна амплітуда сферичної хвилі в параксіальному наближенні

.

В загальному випадку амплітудне пропускання дифрагуючого об’єкту описується комплексною неперіодичною функцією . Комплексну амплітуду дифрагованої хвилі в площині при цьому також виражають з допомогою інтеграла

де перетворення Фур’є від , причому інтегрування проводять в області, що задовольняє нерівності (поза тією областю хвилі швидко загасають при віддаленні від транспаранта). Отже, можна зробити висновок: коли плоска хвиля амплітудою поширюється в напрямку осі і падає на поміщений в площині транспарант з амплітудним пропусканням , то спектр комплексної амплітуди в площині вигляд:

.

Інтеграл Френеля-Кірхгофа

Розв’язок задачі дифракції можна представити також з допомогою інтегралу Френеля-Кірхгофа:

,

де , і — координати точок, які відповідно належать площинам і .

Дифракційні формули Френеля і Фраунгофера

У відповідності до наближення Френеля інтеграл Френеля-Кірхгофа можна написати в наступному спрощеному вигляді:

Наближення Френеля справедливо в зоні

де – максимальний радіус апертури, – максимальний радіус області спостереження в площині z ; – найменша неоднорідність розподілу світлового поля , яка зв’язана з максимальною просторовою частотою поля

Наближення Фраунгофера можна використати, якщо , тоді . Тоді дифракційна формула ще більше спроститься:

.

Якщо область, що нас цікавить, лежить в площині спостереження дифракції Фраунгофера поблизу осі , так що виконується умова:

, або , то .

В останньому випадку наближення Фраугофера спрощується:

Зона дифракції Фраунгофера визначається з умови:

Сферична лінза та її властивості

Якщо лінза достатньо тонка і міняє тільки фазу падаючого на неї світла, то комплексне пропускання рівне:

.

Фокусна віддаль лінзи зв’язана зі радіусами кривизни сферичних поверхонь і таким виразом:

Якщо впритул до лінзи розміщений транспарант з комплексним пропусканням , і на транспарант з лінзою падає плоска хвиля з амплітудою то в задній фокальній площині лінзи матимемо розподіл амплітуд:

Якщо покласти , , то останній вираз в площині можна представити так:

Якщо в площині розмістити збірну лінзу з фокусною віддалю то з попереднього виразу стає очевидним, що зразу за другою лінзою ми отримаємо фур’є-образ, який не містить фазового множника сферичної хвилі:

Ще одна схема може виконувати точне перетворення Фур’є у відповідності до попереднього виразу. Це коли транспарант освітлюється плоскою хвилею і розміщений в передній фокальній площині лінзи. В задній фокальній площині лінзи будемо мати розподіл амплітуд у відповідності до перетворення Фур’є.

ЗАДАЧІ

1. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню мм розміщена ґратка з періодом мкм. Ґратка освітлюється плоскою хвилею по нормалі, мкм. Знайти координати яскравих піків у задній фокальній площині.

2. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню мм розміщена ґратка з періодом мкм. Ґратка освітлюється плоскою хвилею під кутом , мкм. Знайти координати яскравих піків у задній фокальній площині.

3. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню мм розміщено два взаємо когерентні джерела світла потужністю і Ват, і які зміщені відносно осі координат оптичної системи на мм уверх і мм вниз. Знайти період та контраст інтерференційної картини, якщо довжина хвилі когерентних джерел складає 0.514мкм.

4. Знайти область дифракції Френеля на круглому отворі діаметром 3 мм, якщо довжина хвилі випромінювання мкм. Плоска хвиля падає на екран по нормалі.

5. Знайти область дифракції Фраунгофера на круглому отворі діаметром 3 мм, якщо довжина хвилі випромінювання 0мкм. Плоска хвиля падає на екран по нормалі.

6. На щілину шириною мм падає плоска хвиля по нормалі мкм. Знайти розподіл амплітуди хвилі в області дифракції Фраунгофера на віддалі

7. На дві щілини шириною мм, центри яких знаходяться на відстані мм, падає плоска хвиля. Описати розподіл поля в області дифракції Фраунгофера; знайти кількість періодів інтерференційної картини в межах центральної дифракційної смуги.

8. На отвір діаметром мм падає плоска хвиля по нормалі мкм. Знайти розподіл інтенсивності в області дифракції Фраунгофера.

9. На прямокутній отвір розміром падає плоска хвиля по нормалі мкм. Знайти розподіл в області дифракції Фраунгофера. Знайти кутові координати нулів розподілу інтенсивності світла.

10. Знайти вираз для розподілу інтенсивності в картині дифракції Фраунгофера на отворі, який зображений на рисунку. Передбачається, що освітлення здійснюється нормально падаючою хвилею одиничної амплітуди.

11. Знайти інтенсивність поля на осі картини дифракції Френеля на отворах з наступними коефіцієнтами пропускання (допускаючи, освітлення здійснюється нормально падаючою плоскою хвилею одиничної амплітуди)

А) Б)

де

12. А) Вважаючи, що освітлення здійснюється нормальною падаючою плоскою хвилею одиничної амплітуди, і нехтуючи скінченністю розмірів отвору, знайти картину дифракції Френеля на отворі, який має наступний коефіцієнт пропускання:

Б)Враховуючи, що визначити на яких відстанях від отвору розподіл поля в площині, яка паралельна екрану, 1) модульовано в просторі тільки по амплітуді, 2) модульовано в просторі тільки по фазі?

13. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню 300мм розміщений прямокутній отвір розмірами мм². Отвір освітлюється плоскою когерентною хвилею з мкм. Знайти координати точок мінімальної інтенсивності в задній фокальній площині.

14. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню 400мм розміщений прямокутній отвір розмірами мм². Отвір освітлюється плоскою когерентною хвилею з мкм. Знайти координати точок мінімальної інтенсивності в задній фокальній площині.

15. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню мм розташована дифракційна ґратка з періодом мкм. Ґратка освітлюється плоскою хвилею з мкм. Визначити координати яскравих піків в задній фокальній площині лінзи.

16. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню мм розташована двомірна дифракційна ґратка з періодом мкм у двох ортогональних напрямах. Ґратка освітлюється плоскою хвилею з мкм. Визначити координати яскравих піків в задній фокальній площині лінзи.

17. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню мм розташована дифракційна ґратка з періодом мкм вздовж координати та з періодом мкм вздовж координати Ґратка освітлюється плоскою хвилею з мкм. Визначити координати яскравих піків в задній фокальній площині лінзи.

18. В передній фокальній площині лінзи з фокусною відстанню розміщено транспарант з максимальними просторовими частотами і Транспарант освітлюється плоскою хвилею з мкм. Визначити геометричні розміри світлової плями в задній фокальній площині лінзи.

19. В передній фокальній площині лінзи знаходиться дифракційна ґратка, яка має штрихів (періодів). Пропускання одного періоду описується функцією на інтервалі . Ґратка освітлюється плоскою хвилею з мкм. Знайти розподіл інтенсивності поля в задній фокальній площині. Знайти координати, ширину та відносну інтенсивність головних максимумів. Визначити координати нулів в розподілі інтенсивності та їх кількість між сусідніми головними максимумами.

20. На рисунку наведена оптична схема, що виконує перетворення Фур'є.

Оптична схема, що виконує перетворення Фур’є з маштабуванням. S – точкове когерентне джерело світла, K – колімаційна лінза, T – транспарант або слайд, L – лінза яка виконує перетворення Фур’є, E – екран, чи фото чутливе середовище, на якому формується Фур’є спектр транспаранта (слайда)

На віддалі перед лінзою розміщено транспарант з пропусканням . Точкове когерентне джерело світла розташоване на віддалі перед транспарантом. Фокусна відстань довжина хвилі випромінювання джерела світла .

1. Знайти віддаль від лінзи до екрану, на якому буде сформовано перетворення Фур’є.

2. Виразити аналітично розподіл інтенсивності світла на екрані від просторових та частотних координат, якщо транспарант представляє круглий отвір діаметром

3. Виразити аналітично розподіл інтенсивності світла на екрані від просторових та частотних координат, якщо транспарант представляє прямокутній отвір з розмірами .

4. Знайти координати піків дифракційних порядків на екрані, якщо на місці транспаранта розміщена дифракційна ґратка з періодом .

5. Провести аналіз оптичної схеми, якщо транспарант розміщений між лінзою та екраном.

6. В чому полягає різниця між даною оптичною схемою, та схемою, коли точкове джерело знаходиться в нескінченності.