Перетворення фур’є та інші перетворення

1. Записати і використати симетричність функції і анти симетричність .

2. Записати і використати симетричність функції і анти симетричність .

3. В перетворенні Фур’є від першої похідної функції інтеграл взяти один раз по частинах.

4. В перетворенні Фур’є від другої похідної функції інтеграл взяти два рази по частинах.

15.

16.

17.

18.

19. .

20.

21.

22. .

23.

24.

25.

26.

27.1.У задачах 27.1-6 скористатись результатами задач 3 і 4. У задачі 27.1 використати розв’язок задачі 24.

27.2. У задачі 27.2 використати розв’язок задачі 26.

27.3. У задачі 27.3 використати розв’язок задачі 23.

27.4. У задачі 27.4 використати розв’язок задачі 25.

27.5. У задачі 27.5 використати розв’язок задачі 8.

21.6. У задачі 27.6 використати розв’язок задачі 9.

28. Вказівка: Знайти перетворення Фур’є від функції та покласти, що Відповідно знайти обернене перетворення Фур’є від та покласти, що

29. мм.

30. мм.

31. мм.

32. Фур'є-образ Максимальне значення фур'є-образу складає 1.0. Приймемо таким чином, щоб Звідси Отже

33. Якщо вибраний максимально допустимий інтервал відліків , то справедливий вираз

=

На рис.1 наведено функцію і функції для : при цьому

Рис.1 Відновлення вихідної функції за відліками функції в просторовій області.

Тобто функцію можна відновити з допомогою відліків цієї функції в дискретних точках і функції . Слід відзначити, що вираз приймає одиницю для -відліку, і рівний нулю для всіх інших позицій. Якщо врахувати всі члени суми, рахуючи як позитивний центральний максимум, так і позитивні і від’ємні бокові максимуми, то можна точно відновити неперервну функцію , що наведено на рис.2.

34. Фур'є-образ не виражається через елементарні функції. Тому потрібно побудувати графік як функція частоти. Якщо то фур'є-образ на цій частоті рівний З графіка можна переконатись, що на частоті =1.4659 фур'є-образ рівний Отже 0.3411.

а)	б)
Рис.2а. Неперервна функція – крапки – відновлена функція за відліками, у сумі міняється від до	Рис.2б. Різниця між і відновленою функцією за її відліками для даних, що наведені у підписі до рис. 2а.

35. Поступаємо, як в задачі 33. Для функції візьмемо у сумі міняється від до . Скористаємось виразом = та . Знайдемо похибку у відновленні функції за її відліками. Сама відновлена функція та похибка у відновленні представлена на рис.3.

а)	б)
Рис.3а. Неперервна функція крапки – відновлена функція за відліками, у сумі міняється від до	Рис.3б Різниця між і відновленою функцією за її відліками для даних, що наведені у підписі до рис. 3а.

Дана функція не так швидко прямує до нуля як тому для точного відновлення потрібно брати більше відліків, в даному випадку у сумі міняється від до

41. .

Задачі 42, 43, 44 зробити таким же чином як задачу 41.

45.

46.

47.

48, 49, 50. Вказівка: Задачі 48, 49, 50 виконати на комп’ютері за допомогою програмного забезпечення, яке виконує перетворення Фур’є або інтегрування в символічній формі, наприклад в Maple.