4 Розрахунок концентраційних полів домішок

4.1 Розповсюдження домішки в атмосфері

На основі відомих характеристик реальної атмосфери, зокрема даних про склад повітря, про напрям і швидкість вітру, будуються моделі розповсюдження домішок в реальній атмосфері. Ці моделі різні для різних викидів.

Характеристикою розповсюдження викидів залежно від атмосферних умов є зміна області розповсюдження з урахуванням часу дії джерела викидів. Існує два підходи до аналізу розповсюдження домішки, атмосфери, що вноситься в приземний шар. Згідно роботі [10], розподіл домішки на всіх напрямках описується гауссовським законом. Від джерела, розташованого на початку координат, концентрація в крапці (x, у, z) пропорційна твору імовірнісних величин Px,Py,Pz, причому

(4.1)

де х – дисперсія розподілу домішки у напрямі х;

(4.2)

де - середня по висоті швидкість вітру;  - час від моменту викиду.

Вирази для аналогічні. Для безперервно діючого джерела .

Інший підхід заснований на рішенні рівняння турбулентної дифузії домішки. При цьому вдається врахувати вплив підстилаючої поверхні, висоти джерела і ін. чинників [10]. Як наголошувалося вище, рух повітря має турбулентний характер. Разом з швидкістю вітру, яку в першому наближенні приймаємо горизонтальною, мають місце турбулентні пульсації у напрямі осей координат . Ці пульсації разом з молекулярною дифузією забезпечують перемішування домішки з атмосферним повітрям. Перемішування повітря за рахунок турбулентних пульсацій називається турбулентною дифузією на відміну від фіковської.

Щоб одержати загальне рівняння розповсюдження домішки в атмосфері, розглянемо матеріальний баланс дифундуючої речовини в елементарному об'ємі повітря (рис.4.1). Вісь х співпадає з направленням вітру, вісь у перпендикулярна направленню вітру в площині землі, ось z перпендикулярна поверхні; qx, qy, qz – кількості диффундуючої речовини в одиницю часу в напрямку осей координат. Зміна кількості домішок у розглядаємому елементарному об’ємі повітря при нестаціонарному процесі складає , де с – концентрація домішок. За рахунок швидкості вітру в розглядаємому об’єм вноситься кількість речовини: (знак « - » враховує зменшення концентрації домішок при внесенні в розглядає мий елементарний об’єм свіжого повітря з вітром). За рахунок дифузії в напрямку оси х вноситься кількість речовини: . Так як , то можна записати

(4.3)

При турбулентній дифузії, аналогічно випадку фіковської дифузії,

кількість дифундуючої речовини пропорційно градієнту концентрації

(4.4)

де Кх – коефіцієнт турбулентної дифузії у напрямі х.

Тоді

(4.5)

Аналогічно для дифузії в напрямах осей у і z:

(4.6)

(4.7)

де Kz, Ky – коефіцієнти дифузії в напрямах z і у.

Зміна кількості речовини в об'ємі dxdydz за одиницю часу за рахунок речовини, що вноситься вітром, і за рахунок турбулентної дифузії по трьох декартових напрямах прийме вигляд:

( 4.8)

Після скорочення на dxdydz одержуємо загальне рівняння турбулентної дифузії

(4.9)

Співвідношення (4.9) справедливо за умов:

при орієнтації осі х у напрямі швидкості вітру v=0;

має місце випадок легкої домішки, коли може бути прийнято w=0.

При сталому процесі . Для ізотропної турбулентної дифузії . Тоді рівняння приймає простіший вигляд:

K2c (4.10)

де 2с - оператор Лапласа.

При несталому процесі з урахуванням нерівності нулю складових швидкості вітру і (наявність важких домішок)а також зміни концентрацій за рахунок перетворень, рівняння турбулентної дифузії має вигляд:

(4.11)

де - коефіцієнт зміни концентрації за рахунок перетворень домішки.

Розміри джерел викидів малі в порівнянні з відстанями, на яких досліджується створюване ними поле концентрації. Тому джерела можна вважати точковими. Граничні умови на нескінченному видаленні від джерела приймаються у вигляді

при

при .

При формулюванні граничної умови на підстилаючій поверхні виділяють випадки, коли домішки розповсюджуються над водою. Вода звичайно поглинає домішки, Тому їх концентрація безпосередньо у поверхні води рівно нулю: с=0 при z=0.

З поверхнею ґрунту домішки мало взаємодіють. Потрапивши на поверхню ґрунту, домішки не накопичуються на ній, а з турбулентними вихорами знову несуться в атмосферу. Тому для спрощення завдання приймається, що середній турбулентний потік домішок у земної поверхні складає: при . Рівняння турбулентної дифузії домішки може бути вирішено з урахуванням прийнятих граничних умов і заданого характеру зміни складових коефіцієнта турбулентного обміну. Аналітичні методи рішення можливі при значних спрощеннях реальних атмосферних умов.

Рисунок 4.1-Розповсюдження домішки в умовах ізотропного турбулентного потоку.

Найпростіше рівняння розв'язується за умови постійної швидкості вітру на висоті шару і ізотропної турбулентності. В цьому випадку в сферичних координатах для точкового джерела рішення має вигляд

(4.12)

де r – відстань точки простору, в якій визначається концентрація від джерела; х – проекція відстані r на вісь х, направлену за вітром (див. рис. 4.2 а).

Це рішення можна використовувати при визначенні концентрацій домішки на поверхні Землі в припущенні, що поперечні розміри хмари значно менші за подовжні (тобто розміри у і z малі в порівнянні з х).

Приймаючи при значному видаленні від джерела r=x і замінюючи величину (r-x) наближеним виразом

одержуємо вираз для концентрацій в будь-якій точці простору при розташуванні початку координат в точковому джерелі:

(4.13)

Якщо початок координат перенести в крапку 0, розташовану у підстави димаря ефективною висотою Н, то замість z в співвідношення (4.13) слід підставити (z-H) (рис. 4.2 би). Тоді співвідношення для розрахунку концентрацій приймає в нових координатах вигляд:

Концентрація на рівні Землі (z=0) визначається із співвідношення

(4.14)

Залежності (4.13) і (4.14) мали б місце при абсолютній проникності земної поверхні для домішок.

Для обліку граничної умови (тобто віднесення турбулентними потоками частини домішки назад в атмосферу) при z=0 вводиться в розгляд фіктивне джерело такої ж потужності, але розташований симетрично по відношенню до реального нижче за рівень Землі (мал. 4.2. в). Для випадку розташування координат на рівні Землі розподіл концентрацій для другого джерела буде аналогічним першому, але замість (z-H) в співвідношення (4.13) підставляється (z+H). Для визначення концентрацій підсумовуються концентрації від обох джерел:

(4.15)

Розподіл концентрацій на рівні Землі при z=0 визначається по співвідношенню (4.59), приведеному до вигляду:

(4.16)

Порівняння співвідношень (4.16) (Земна поверхня непроникна) і (4.14) (Земна поверхня проникна) приводить до висновку, що концентрації домішки за наявності непроникної і непоглинаючої Земної поверхні опиняються в кожній крапці удвічі більше. Із

співвідношення (4.10) виходить, що максимально-разова концентрація має місце при y=0. Для цього випадку розподіл концентрацій має вигляд:

(4.17)

Координати точки максимуму концентрації на земній поверхні визначаються з умови . Диференціюючи (4.17) і прирівнюючи результат нулю, одержуємо точку розташування максимуму концентрації

(4.18)

і вираз для визначення максимально-разової концентрації, мг/м3

(4.19)

Таким чином, максимально-разова концентрація домішок на рівні Землі прямо пропорційна кількості викидів М і обернено пропорційна швидкості вітру і і квадрату ефективної висоти труби Н.

z

u

х

у

a)

z=H

u

z

х

у

б)

z

u

х

у

в)

Рисунок 4.2-Розповсюдження домішки від точкового джерела в нескінченному просторі при рівномірному вітрі (а); від джерела над проникною земною поверхнею при рівномірному вітрі (б); те ж з поправкою О. Сеттона на непроникність земної поверхні методом двох джерел (в).