§8. Лінійні та зведені до них рівняння та нерівності
▼61. Дайте відповіді на наступні запитання:
1) Що називається рівнянням?
2) Що називається коренем або розв’язком рівняння?
3) Що означає «розв’язати рівняння»?
4) Які рівняння називаються лінійними?
5) Чому дорівнює розв’язок лінійного рівняння?
● 62. Розв’язуючи рівняння першого степеня з однією змінною, його треба спочатку спробувати звести до лінійного. Роблять це здебільшого в такій послідовності:
1) Позбуваються знаменників (якщо вони є).
2) Розкривають дужки (якщо вони є).
3) Переносять члени із змінними в ліву частину рівняння, а інші – в праву.
4) Зводять подібні доданки.
Наприклад,
63. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
▼64. Дайте відповіді на наступні запитання:
1) Що називається нерівністю з однією змінною?
2) Що називається розв’язком нерівності?
3) Що означає «розв’язати нерівність»?
4) Які дві нерівності називаються рівними (еквівалентними)?
●65. При розв’язуванні нерівностей користуються такими основними теоремами про рівносильність нерівностей:
1) Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
2) Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
3) Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від’ємне число, змінивши знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.
Множини
розв’язків нерівностей зручно записувати
у вигляді проміжків.
Наприклад,
66. Розв’язати нерівності:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
*67. Розв’язати рівняння, що містять знак модуля:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
*68. Розв’язати нерівності, що містять знак модуля:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
До змiсту
§9. Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних
▼69. I Дайте відповіді на наступні запитання:
1) Яке рівняння має назву квадратного?
2) Яке квадратне рівняння називається зведеним?
3) В яких випадках квадратне рівняння називається повним або неповним?
4) Які види неповних квадратних рівнянь вам відомі? Пригадайте способи їх розв’язання.
5) Скільки коренів може мати квадратне рівняння?
6) Від якого виразу залежить наявність та кількість коренів квадратного рівняння? Яку назву має цей вираз?
7) За якою формулою знаходяться корені повного квадратного рівняння?
II Перевірте свої відповіді за поданим нижче теоретичним матеріалом
Квадратним
називають
рівняння виду
,
де
- змінна, а
- дані числа, причому
.
Числа
- коефіцієнти
квадратного рівняння.
Якщо
,
то квадратне рівняння називається
зведеним,
якщо
,
- незведеним. Незведене квадратне
рівняння завжди можна зробити зведеним,
розділивши обидві частини його на перший
коефіцієнт
.
- зведене
квадратне рівняння.
Зведені
квадратні рівняння звичайно записують
у вигляді
.
Згідно
з означенням, перший коефіцієнт
квадратного рівняння не може дорівнювати
нулю. Якщо хоч один коефіцієнт
або
дорівнює нулю, то квадратне рівняння
називають неповним.
Неповні квадратні рівняння бувають
трьох видів:
1)
;
2)
;
3)
.
Рівняння
виду
рівносильне рівнянню
і
тому завжди має тільки один корінь
.
Рівняння
виду
рівносильне рівнянню
і завжди має два корені:
.
Наприклад,
,
або
,
.
Квадратне
рівняння виду
рівносильне рівнянню
.
Якщо
,
воно має два розв’язки
, якщо
то рівняння немає жодного розв’язку.
Наприклад,
,
Квадратне
рівняння може мати один, два, або не мати
жодного кореня. Це залежить від знака
виразу
,
який має назву дискримінанта
квадратного
рівняння і позначається буквою
.
Отже,
.
Якщо
,
то квадратне рівняння не має дійсних
коренів.
Якщо
,
то квадратне рівняння має один дійсний
корінь, який знаходиться за формулою
.
Якщо
,
то квадратне рівняння має два різних
дійсних кореня, які знаходяться за
формулою
.
Користуючись цією формулою можна
розв’язати будь-яке квадратне рівняння.
Наприклад,
70. Розв’язати неповні квадратні рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
71. Розв’язати квадратні рівняння, користуючись формулою коренів:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
.
72. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
73. I. Сформулюйте теорему Вієте для зведеного квадратного рівняння
II. Розв’язати рівняння, користуючись теоремою Вієта:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
74. Складіть зведене квадратне рівняння, корені якого дорівнюють:
1) 2 і 4;
2) -3 і 5; 3) 0,5 і 4; 4)
і 7; 5)
і
.
75. Один
з коренів рівняння
дорівнює 7. Знайдіть другий корінь і
число С.
*76.
Складіть
квадратне рівняння, корені якого у 2
рази менші за відповідні корені рівняння
.
77.
При яких значеннях параметра m
рівняння
має два різних кореня?
78.
При яких значеннях параметра b
рівняння
не має коренів?
*79.
Відомо, що
і
- корені рівняння
.
Не розв’язуючи цього рівняння, знайдіть
значення виразу
.
*80. Не
розв’язуючи рівняння, обчислити
,
де
і
- корені рівняння
.
*81.
При якому значенні параметра
сума коренів рівняння
дорівнює сумі квадратів цих коренів?
*82.
При яких значеннях параметра
вираз
є повним квадратом?
83. Розв’язати дробово-раціональні рівняння:
1)
; 2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
84.
При якому значенні
числа
будуть послідовними членами геометричної
прогресії? Знайдіть ці числа.
*85. Розв’язати рівняння:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
До змiсту