11.3. Хвильовий пакет. Групова швидкість.

При наявності декількох джерел коливань хвилі рухаються незалежно одна від одної, накладаючись одна на одну. При додаванні хвиль виконується принцип суперпозиції, суть якого полягає у визначенні сумарного зміщення частинки, що виникає внаслідок дії декількох хвиль, як геометричної суми зміщень, зумовлених окремо кожною з цих хвиль.

Т

103

ому будь-яка хвиля може бути представлена у вигляді деякої групи хвиль що отримала назву хвильового пакета. Хвильовий пакет - це суперпозиція хвиль які мало відрізняються одна від одної за частотою і займають в кожний момент часу обмежену частину простору.

За швидкість розповсюдження хвильового пакета приймають швидкість переміщення максимального значення амплітуди хвилі, яка утворилася внаслідок накладання хвиль, що входять у хвильовий пакет. Ця швидкість отримала назву групової швидкості і визначається таким чином:

, (11.10)

де u - групова швидкість хвильового пакету.

Визначимо співвідношення між фазовою та груповою швидкістю. Для цього диференціюємо рівняння (11.10) як складну функцію. Тоді, з урахуванням співвідношення  = Vk маємо:

, (11.11)

Враховуючи що k = 2/, диференціал .

Після підстановки отриманих виразів у (11.11), маємо

,

Звідки:

, (11.12)

Таким чином групова швидкість може бути як більшою так і меншою ніж фазова. У середовищі, де дисперсія хвиль не відбувається, групова швидкість дорівнює фазовій. Поняття про групову швидкість дуже важливе, бо саме ця швидкість використовується при вимірюванні дальності, наприклад, у радіолокації. У теорії відносності А.Ейнштейна доводиться, що групова швидкість не може перевершити швидкість світла у вакуумі, тоді як фазова швидкість може приймати будб-які значення.

1 104 1.4. Інтерференція хвиль. Стоячі хвилі.

Якщо у дану точку простору приходять дві гармонічні хвилі з амплітудами А₁ та А₂, то амплітуду результуючого коливання знаходять за формулою додавання векторів:

, (11.13)

де ₁ - ₂ - різниця фаз коливань у досліджуваній точці.

При цьому можливі два випадки: різниця фаз (₁ - ₂) змінюється з часом, тобто хвилі не когерентні, різниця фаз (₁ - ₂) не змінюється з часом, тобто хвилі когерентні, частоти їх коливань однакові.

При додаванні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, яке полягає в тому, що коливання в одних точках підсилюються, а в інших послаблюються. Підсилення коливань буде спостерігатися в точках, для яких:

(₁ - ₂) =  2n , (n = 0, 1, 2, ....) (11.14)

А сумарна амплітуда буде дорівнювати А = А₁ + А₂.

Послаблення коливань спостерігається в точках, для яких:

(₁ - ₂) =  (2n+1) , (n = 0, 1, 2, ....) (11.15)

А сумарна амплітуда буде дорівнювати А = А₁ - А₂.

Геометричні місця точок, в яких коливання підсилюються або послаблюються, складають інтерференційну картину.

При накладанні некогерентних хвиль амплітуда коливань у просторі змінюється з часом, тому інтерференційна картина не виникає.

Розглянемо інтерференцію двох зустрічних хвиль з однаковими частотами та амплітудами. Наприклад, хвилі, що падають на будь-яку перепону, і хвилі, що відбивається від неї. Нехай зміщення, зумовлені цими хвилями у точці Х, в момент часу t будуть дорівнювати:

,

Тоді результуюче зміщення буде дорівнювати:

,

/2

Рис. 11.3.

З

105

/2

начить у точці Х мають місце коливання зі сталою амплітудою:

, (11.16)

У точках, для яких виконується умова kx = n (n=0,1,2..), коливання відбуваються з максимальною амплітудою 2А₀. Такі точки отримали назву пучності (див. рис. 11.3).

У точках, для яких виконується умова kx = (n + 1/2) (n=0,1,2..), коливання не відбуваються. Ці точки називаються вузлами (рис. 11.3).

Положення вузлів не змінюється з часом, тому накладання двох зустрічних біжучих хвиль приводить до виникнення так званої стоячої хвилі (див. рис. 11.3). Стоячі хвилі у просторі не переміщуються і енергію не переносять.