Вариант №12

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной, равна длине этой касательной.

2.2 В дне сосуда имеется отверстие площадью . В начальный момент времени сосуд заполнен полностью. Найти закон истечения жидкости из сосуда, т.е. зависимость уровня жидкости от времени, в случае, если сосуд имеет форму цилиндра, высотой H и площадью основания .

Указание: скорость истечения жидкости из отверстия, лежащего под столбом жидкости высотой h: вычисляется по формуле

.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами ρ = 2, φ = 0, если угол α между ее касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная величина: tg α= a.

2.2 В дне сосуда имеется отверстие площадью . В начальный момент времени сосуд заполнен полностью. Найти закон истечения жидкости из сосуда, т.е. зависимость уровня жидкости от времени, в случае, если сосуд имеет форму конуса с углом при вершине 2 и высотой H. Скорость истечения жидкости из отверстия, лежащего под столбом жидкости высотой h: вычисляется по формуле

.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 .

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений: