Вариант №16

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.

2.2 В баке находится 100 л рассола, содержащего 10 кг растворенной соли. В каждую минуту в бак вливается 30 л воды и вытекает столько же рассола, причем смесь перемешивается мгновенно. Найти закон, по которому изменяется содержание соли в баке в зависимости от времени. Какое количество соли останется в баке через 10 минут?

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 .

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

2.2. Цилиндрический сосуд высотой 20 см и радиусом основания 5 см наполнен водой. Отверстие в нижнем основании имеет диаметр 0,3 см. Каков будет уровень воды в сосуде через 30 секунд?

Скорость истечения жидкости из отверстия, лежащего под столбом жидкости высотой h: вычисляется по формуле

.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений: