Введение

Сложно представить современный мир и современную науку без математики, роль которой со временем будет только возрастать. Задача данного пособия – помочь в освоении базовых разделов математического анализа будущему специалисту, научить применять полученные знания в практической работе.

В пособии дано систематическое изложение раздела математического анализа “Интегральное исчисление функции одной переменной” в объеме, соответствующем государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования по техническим специальностям.

Теоретический материал каждого раздела, содержащий важнейшие определения и теоремы математического анализа, сопровождается большим количеством задач и примеров с подробным решением.

Такое изложение позволяет преподавателю на лекциях и практических занятиях уделить больше внимания содержательным вопросам, а студентам дает возможность самостоятельно разобраться в решениях стандартных задач. Особенно полезной такая форма изложения будет студентам ИИФО.

В пособии приведены упражнения для самостоятельной работы. Несмотря на то что эти примеры отражают основные темы курса интегрального исчисления, студентам рекомендуется не ограничиваться этим набором, а обращаться к задачникам из приведенного библиографического списка.

Настоящее учебное пособие написано на основе опыта преподавания высшей математики студентам Дальневосточного государственного университета путей сообщения.

Авторы надеются, что усвоение данного раздела математического анализа поможет студентам в изучении других разделов математики, а также общеинженерных и специальных дисциплин.

1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Во многих задачах науки и техники приходится восстанавливать функцию по известной производной. Зная закон изменения пути с течением времени , мы можем найти сначала скорость , а затем и ускорение . На практике, однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение задано как функция от времени , то есть , требуется определить скорость и пройденный путь в зависимости от . Таким образом, нужно по функции восстановить функцию , для которой является производной, а затем, зная функцию , найти функцию , для которой производной будет .

Определение. Функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если на этом промежутке функция непрерывна, и в каждой внутренней точке промежутка справедливо равенство

.

Отыскание для функции всех ее первообразных называется интегрированием и составляет одну из задач интегрального исчисления.

Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной их них.

Теорема 1. Если функция имеет на промежутке первообразную , то и все функции вида будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная для функции может быть представлена в виде , где – одна из первообразных функций, а – произвольная постоянная.

Доказательство. По определению первообразной имеем . Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем . Это и означает, что является первообразной для .

Покажем теперь, что если функция задана на некотором промежутке и – одна из ее первообразных, то может быть представлена в виде

.

В самом деле, по определению первообразной имеем

и .

Но две функции, имеющие на промежутке равные производные, отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Значит, , что и требовалось доказать.

Учитывая важность множества всех первообразных функций, для него ввели специальное название и обозначение.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции на заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

.

Функция называется подынтегральной функцией, а произведение – подынтегральным выражением.

Часто говорят: “взять неопределенный интеграл” или “вычислить неопределенный интеграл”, понимая под этим следующее: найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Пример. Пусть , тогда одной из первообразных будет , и, как не трудно видеть, неопределенный интеграл этой функции

.

Равенство легко проверить обратным действием – дифференцированием: .