11.1. Метод прямоугольников

Пусть требуется вычислить определенный интеграл , где функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Будем полагать, что на [a; b]. Это предположение не изменит формулы, но позволит прибегнуть к геометрической интерпретации результата: интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью ОХ и прямыми x = a, x = b.

Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками: . Обозначим – длины частичных отрезков. По условию . Вычислим – ординаты точек деления. Таким образом, исходная криволинейная трапеция разбита на n полос, каждая из которых также является криволинейной трапецией. Площадь каждой такой трапеции будем считать приближенно равной площади прямоугольника, основание которого , а высота – правая ордината полосы: . Сумма площадей всех полученных прямоугольников выражает площадь ступенчатой фигуры . С другой стороны, сумма S является интегральной для функции f(x) на отрезке [a; b], поэтому приближенно равна интегралу

                                              .                                                          (11.1)

Таким образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется (приближается) площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников. Формула (11.1) называется формулой “правых” прямоугольников.

Аналогично, рассматривая в качестве высоты каждого прямоугольника левую ординату, можно получить формулу “левых” прямоугольников:

                                          .                                            (11.2)

За высоту прямоугольника при разбиении можно взять любую точку на промежутке , например, середину этого отрезка.

Ошибка вычисления будет тем меньше, чем больше число n, и для метода прямоугольников она будет иметь оценку .

11.2. Метод трапеций

Найдем среднее арифметическое формул (11.1) и (11.2):

.

Каждое слагаемое в данной формуле представляет площадь трапеции с основаниями и , и высотой . Таким образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется суммой площадей прямолинейных трапеций, и полученная формула

                                                                   (11.3)

называется формулой трапеций. Формулу трапеций также можно записать в виде

                                  .                                                           (12.4).

В формуле трапеций на каждом участке разбиения дуга графика функции y = f(x) замещается хордой. Ошибка вычисления оценивается аналогично предыдущему методу.

11.3. Метод Симпсона

Еще более точную формулу для вычислений можно получить, если на отдельных участках заменить кривую y = f(x) параболой.

Известно, что через три заданные точки можно провести параболу единственным образом, поэтому отрезок интегрирования [a; b] надо разбить на n частей таким образом, чтобы полученные точки деления позволяли построить параболы. Очевидно, что число точек деления должно быть четным: n = 2m. Границами промежутков будут точки , а длина каждого промежутка . Ординаты точек деления обозначим . Рассмотрим первые два промежутка деления. Функцию f(x) на отрезке заменим параболой, проходящей через точки . Будем искать уравнение параболы в виде многочлена второй степени

               .                             (11.5)

Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем из условий . Подставим в формулу (11.5) значение , получим . Поскольку , то , откуда . Аналогично при получим и , а при найдем коэффициент . Заменив площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой, получим приближенную формулу

.

Введем замену переменной ,тогда данный интеграл примет вид . Воспользуемся найденными значениями для А, В, С и запишем

                                     .                                     (11.6)

Теперь для всего промежутка [a; b] можно указать формулу приближенного вычисления

,

или

                    .         (11.7)

Формула (11.7) называется формулой Симпсона.

При разбиении промежутка на одно и то же число частей, формула Симпсона, как правило, дает более точное значение, чем формулы прямоугольников и трапеций. Ошибка вычисления для метода Симпсона имеет оценку .

Простота методов численного интегрирования позволяет быстро находить значения определенных интегралов даже в тех случаях, когда можно воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница. Но если для нахождения первообразной требуется некоторая изобретательность, то квадратурные формулы сводятся к простой вычислительной работе, которую можно перепоручить ЭВМ.

Пример. Вычислить приближенное значение интеграла методами прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбив промежуток интегрирования на 10 равных частей.

Решение. Поскольку данный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, то найдем его точное значение, с которым и будем сравнивать приближенные результаты:

.

Разобьем отрезок [0; 2] на 10 частей, найдем длину частичного интервала, ординаты точек деления и составим таблицу значений подынтегральной функции . Длина частичного отрезка . В таблице значений при вычислении значений функции ограничимся пятью знаками после запятой.

X	Y

По формуле “правых” прямоугольников (11.1) приближенное значение интеграла равно .

Формула “левых” прямоугольников (11.2) дает результат .

Формула трапеций дает значение, равное среднему арифметическому двух предыдущих результатов .

Вычисления по формуле Симпсона (11.7) приводят к значению .

Сравнивая со значением, полученным по формуле Ньютона–Лейбница, можно заметить, что наибольшую точность дает формула Симпсона.

Поскольку функция монотонно убывает на отрезке [0; 2], то формулы прямоугольников дают результат с недостатком в первом случае, и с избытком – во втором.

Выбор формулы, количество интервалов разбиения и точность вычисления определяются характером решаемой задачи в каждом конкретном случае.