Анализ на постоянном токе

Анализ на постоянном токе предполагает неизменность входного сигнала во времени. Если на вход подаётся постоянное значение, то и на выходе постоянное значение. Если провести многократный анализ, то геометрически результат анализа – совакупность точек, которые можно соединить линией, зависимостью:

Любые зависимости на постоянном токе – многовариантный анализ. Формирование математической модели схемы на постоянном токе может происходить одним из 2-х способов:

1 вариант: удаляем из схемы все реактивные элементы, заменяя индуктивность на короткое замыкание. Вместо L – короткое замыкание, вместо C – холостой ход.

В итоге схема будет содержать источники управления и неуправляемые источники тока.

Сопротивления линейные и нелинейные.

Математически схема будет описываться системой алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. Нелинейность, если присутствуют нелинейные без инерционные элементы. Иногда говорят про системы трансцендентных уравнений.

Эквивалентные алгебраические уравнения используются вместо трансцендентных.

2 вариант: берётся исходное уравнение в пространстве состояний

При этом в статическом режиме все характеристики теряют временную зависимость.

, ,

Система ДУ в полных производных вырождается в систему алгебраических уравнений, т.е получаем: II способом приходим к системе алгебраических уравнений: I способом приходим к системе алгебраических уравнений.

Существует 3 различных класса методов решения нелинейных алгебраических уравнений.

1 класс: Аналитические методы(корни квадратного уравнения).

Известны соотношения для квадратного и кубического уравнения. Математически доказано, что для алгебраического уравнения общего вида с показателем степени 5 и выше, аналитических решений не существует. Поэтому эти методы(аналитические методы) в САПР не используется.

2 класс: Графические методы.

Предполагают разбиение уравнения на отдельные функции, построение каждой из этих функций и нахождение точек пересечения графиков. Данный метод мог бы быть эффективным для отделения корней.

3 класс: Численные методы.

Существуют десятки методов решения уравнений относящихся и этому классу (детоктор, модулятор, сложитель).

Основные характеристики численных методов.

1. Условные сходимости (необходимое и устойчивое условие достижения с заданной степенью точности корня управления на основе итерационного метода).

2. Начальные приближения: обязательна лишь для некоторых методов.

3. Трудоёмкость расчёта одной итерации. Оцениваем количество операций на одну итерацию.

4. Скорость сходимости: характеризуется на сколько уменьшается отношение текущего значения от корня. Скорость сходимости можно косвенно оценить по числу итераций, необходимых для нахождения корня с заданной степенью точности.

В основе, решения численных методов лежит метод итераций. Итерационный метод предполагает последовательное(циклическое) решение уравнений вида:

, где i = 0, 1,2 …

Итерационный процесс может быть закончен, если отклонения по аргументу на ближайших итерациях меньше заданной степени точности.

В данном случае обычно накладывается ограничения на функции f(x) или её производную f ‘(x), достаточным условием сходимости является требование |f ‘(x)|<0 в пределах области определения аргумента .

Существует апостериорная оценка окончания итераций. Смысл данной оценки.

f(x)

X

Блок схема алгоритма.

Пуск

Остановка

да нет

Существует целый ряд методов, базирующихся на итерационных способах получения решения.

Группы методов:

1. Методы деления по полам: метод простой итерации обладает мягкими условиями сходимости, но не высокая скорость сходимости(большое количество итераций-шагов)

Первая группа используется в 2-х случаях:

1. На начальном этапе поиска корней.

2. Методы II группы начинаются расходиться.

1. Методы с жесткими условиями сходимости, относительно высокая скорость сходимости.

   • Метод Ньютона

   • Квазиньютоновские методы

   • Метод Ньютона – Раввина

   • Метод Бройдена

Метод деления пополам(метод дихотемии).

1. Условие сходимости:

   1. Корень уравнения отделён (есть корень и является единственныи).

   2. Функция определена на интервале изменения и непрерывна.

Геометрическая интерпретация метода.

Y

a

0 X

Алгоритм решения:

1. Проверяем : -условие не выполняется. Если выполняется – корень любой из интервала.

2. Находится среднее значение: и определяем знаки функций в точках .

, то , условия не выполняются.

Можно априорно оценить количество итераций , где n-количество итераций - точность

При программировании алгоритма необходимо предусмотреть возможность попадания в .

, то .

, то -корень.

Метод простых итераций.

Есть функция f(x), необходимо найти точку пересечения f(x) с осью OX или найти корни уравнения . При k-ая уравнение превращается в тождество с заданной точностью .

От исходного уравнения f(x)=0 перейдем на основе эквивалентных преобразований заданного уравнения к уравнению вида: . Если построить итерационную процедуру , то возможны варианты:

1. Итерационный процесс будет расходиться.

2. Итерационный процесс сходится.

3. Процесс есть расходящийся и сходящийся, или стационарный.

Условие сходимости процесса функция -определяется на интервале [a;b] и непрерывна.

Существуют произведения на этом интервале и её значения .

Существует целый ряд методов(алгоритмов) формирования функции . Один из простейших, когда строится соотношение , тогда II условия сходимости может быть представлено в следующем виде .

Из соотношения следует однозначные требования к коэффициенту k. Знаем область определения [a;b] знаем функцию, известна её производная.

Геометрическая интерпретация метода.

Y

y = x

коридор

0 a b X

Угловая спираль Архимеда

X

получим квадрат

Линейная скорость сходимость(привязка уменьшается по линейному закону) не требуется расчёта производных.

Метод Ньютона (метод касательных)

Условия сходимости метода:

1. Функция f(x)-ограничена непрерывна на интервале [a;b].

2. Корень уравнения отделён(единственный корень) =>

3. Существуют производная на интервале [a;b] и её знак постоянен sing на [a;b].

4. -существует, на [a;b] знак 2ой производной постоянен.

3 и 4 условия дополнительные требования.

Геометрическая интерпретация метода.

y a) Выбираем начальное приближение.

б) Проводим касательную функцию в точке к функции f(x) до пересечения с осью OX.

f(x) в) Восстанавливаем перпендикуляр из точки перпендикуляр с осью OX до , получим новую точу и т.д.

0 a b x

Замечание:

Условие сходимости предъявлены к интервалу [a;b], поэтому необходимо оставаться в пределах данного интервала.

Можно так выбрать начальные приближения, что произойдёт выход из интервала [a;b].

Если мы зайдём за пределы интервале, то если выбираем в качестве приближения начальную точку a, то может произойти выход за пределы интервала.

Чтобы остаться в пределах интервалах предъявляются требования к начальным приближениям:

1. Выбирается точка на концах интервала: либо a, либо b.

2. П осмотреть знак

в итоге <0

в итоге >0

Самостоятельно построить полятрическую интерпретацию метода для различных соотношений: и .