Р1 р2 . Корни не равны и действительны
Этот случай соответствует >1.
При этом переходная функция при p1p2:
(24)
Разделив (24) на установившееся
значение
,
выражая р1
и р2
через 0
и
в соответствии с (23) и заменяя 0t=,
получим выражение переходной функции
в безразмерной форме
где - безразмерное время.
Переходный процесс в системе второго порядка при >1 и при нулевых начальных условиях имеет апериодический характер.
Динамическая ошибка системы равна
Теперь, если левую часть уравнения приравнять допустимой динамической ошибке и решить уравнение относительно , то получим безразмерную длительность переходного процесса.
Однако это уравнение не имеет явного решения относительно , а возможно лишь численное решение задачи.
На рисунке показаны кривые
переходных процессов в системе 2-го
порядка. В таблице приведены значения
безразмерной длительности переходного
процесса
,
вычисленные по уравнению для динамической
ошибки системы при >1
и =0,1.
|
1 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
2,0 |
|
3,89 |
4,4 |
4,92 |
5,44 |
5,95 |
6,47 |
8,85 |
Действительная длительность переходного процесса равна найденному из таблицы значению , деленному на 0.
Рис.. Формы переходных процессов
кривая при >1; 2 .— кривая при =1; 3 — кривая при <1.
9.3.2 Корни равны друг другу (р1 = р2).
Этот случай соответствует =1. При этом корни: р1 = р2 = -0 .
Переходная функция при подаче ступенчатого воздействия имеет вид:
Установившееся значение (t) определяется при t = :
Разделив (t) на () получим безразмерную переходную функцию:
где = 0t – безразмерное время.
Переходный
процесс
=
f()
также является апериодическим (кривая
2 на рис. ).
Динамическая ошибка: = 1- = (1+ )е-.
9.3.3 Корни характеристического уравнения неравные и комплексные (р1р2, <1)
В этом случае существует некоторое оптимальное значение , при котором длительность переходного процесса получается минимальной.
Корни характеристического уравнения в данном случае равны:
Если подставить эти выражения в уравнение переходной функции (24) и совершить переход от комплексных выражений к тригонометрическим, можно получить переходную функцию в виде:
(25)
Переходные процессы при <1 имеют колебательный характер.
Из последнего уравнения определяются основные показатели переходного процесса.
Круговая частота колебаний демпфированной системы:
При
= 0 система является недемпфированной,
при этом
.
Следовательно, параметр 0
представляет собой недемпфированную
частоту собственных колебаний. С
увеличением
частота
уменьшается от
= 0
(при
= 0) до
= 0 (при =1).
Частота колебаний в Герцах:
,
где
.
Период колебаний:
где
T0
=
– период колебаний недемпфированной
системы. С увеличением
период T
увеличивается, стремясь к
при
= 1.
Декремент затухания d, равный отношению абсолютных значений двух максимальных отклонений за два последовательных полупериода:
(26)
где 0, 1, 2 и - значения функции соответственно при t = 0, t = T/2, t = T, t = .
Подставляя последовательно в уравнение (25) значения t = 0, t = T/2 и t = находим:
(27)
Подставляя (27) в (26) определим декремент затухания:
,
иногда
пользуются обратной величиной
— это есть перерегулирование, оно
определяет относительную величину
разности между первым максимумом
переходного процесса и его установившимся
значением:
(28)
Логарифмический декремент затухания:
.
(29)
По формулам (28) и (29) вычислены d, , D, которые сведены в таблицу:
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
d |
1 |
1,37 |
1,89 |
2,68 |
3,94 |
6,14 |
10,5 |
21,7 |
66 |
660 |
|
1 |
0,73 |
0,53 |
0,37 |
0,25 |
0,16 |
0,09 |
0,046 |
0,015 |
0,0015 |
D |
0 |
0,32 |
0,64 |
0,98 |
1,37 |
1,82 |
2,35 |
3,08 |
4,18 |
6,49 |
При колебательном процессе аналитическое определение безразмерной длительности переходного процесса пп не представляется возможным т.к. кривая переходного процесса пересекает зону допустимых динамических ошибок несколько раз и поэтому пп приходится определять графически (кривая 3 на рисунке).
Действительная длительность
переходного процесса равна
Следовательно, увеличение собственной частоты не демпфированных колебаний приводит к уменьшению длительности переходного процесса.