10.3 Оптимизация параметров прибора по критерию максимума ширины полосы пропускания частот
Анализ формулы (23) показывает, что существует оптимальное значение , при котором полоса пропускания частот пр имеет максимум. Определим полосу пропускания частот, как диапазон частот, внутри которого отклонение амплитуды от 1 не превышает величины допустимой динамической ошибки .
На графике представленном на рисунке, подтверждается, что максимум пр будет при таком значении = 1, при котором максимум функции U совпадает с верхней границей допусков 1+ (кривая 1). При этом полоса пропускания частот 1, определяется абсциссой точки А, в которой кривая 1 выходит за пределы поля допуска. Допустим , что 2>1, тогда АЧХ будет описываться кривой 2, расположенной ниже кривой 1 и выходящей из зоны допусков в точке В, для которой 2<1 . Если же 3<1 , то максимальное значение кривой 3 будет превышать верхнюю границу допусков и полоса пропускания частот будет определяться точкой С, для которой 3<1. Таким образом, задача отыскания оптимального сводится к определению его значения, при котором максимум функции U равен 1+. Обозначим через Z подкоренное выражение в формуле (31):
Рис.. К расчёту оптимальной степени успокоения по критерию максимума полосы пропускания частот
Очевидно, что максимум функции U будет при том же значении , при котором функция Z имеет минимум. Это значение можно определить, приравнивая нулю первую производную Z по :
,
откуда: 2 = 1- 22.
Подставляя найденное значение для 2 в правую часть формулы (31) и приравнивая ее левую часть 1+, получим условие для определения оптимального :
или
Решая биквадратное уравнение, находим оптимальное значение степени успокоения:
(35)
Ширину полосы пропускания частот пр, отвечающую оптимальному значению опт, можно определить, подставляя в формулу (31) = опт и приравнивая левую часть 1-:
откуда:
(36)
по формулам (35) и (36) вычислены значения опт и пр для различных значений .
|
0 |
0,025 |
0,05 |
0,1 |
0,25 |
опт |
0,707 |
0,626 |
0,590 |
0,540 |
0,447 |
пр |
0 |
0,737 |
0,876 |
1,04 |
1,31 |
Действительная полоса пропускания пр равна найденному из таблицы значению пр умноженному на собственную частоту недемпфированных колебаний: пр= пр0.
Следует отметить, что полоса пропускания датчика включает и рабочий диапазон частот и резонансную область.
Анализируя таблицы значений , полученные при оптимизации по длительности переходного процесса и при оптимизации по максимуму полосы частот можно сделать вывод, что оптимизация по длительности переходного процесса уменьшает полосу пропускания при заданной динамической погрешности . Однако если прибор работает в режимах, при которых возможны частые переходные процессы, т.е. прибор измеряет нестационарные процессы, то с целью уменьшения динамической погрешности есть смысл жертвовать полосой пропускания частот.