6. Вопросы
1. Дать определение задачи квадратического программирования.
2. Составить математическую модель ЗКП в двух формах.
3. Изложить сущность метода решения ЗКП с использованием симплексных методов.
4. Чем различаются файлы исходных данных при решении ЗКП симплексными методами в MPS – формате или алгебраическом формате?
5. В чем заключается сущность теоремы Куна – Таккера?
6. Привести соотношения для решения ЗКП с использованием теоремы Куна – Таккера.
Л а б о р а т о р н а я р а б от а № 3 (2 часа)
Классический метод решения задач безусловной минимизации (оптимизации) с использованием системы MathCad
Цель работы – изучение классического метода решения задач безусловной минимизации (оптимизации) с использованием системы MathCad, получение практических навыков решения конкретных задач безусловной минимизации, анализ и исследование результатов решения модели при изменении ее параметров.
1. Математическая постановка общей
задачи безусловной минимизации
Математическая постановка общей задачи безусловной минимизации может быть представлена следующим образом.
Определить оптимальные значения переменных x = ( x1, x2, ..., xn), минимизирующие функцию
min f(x),
где f(x) – функция многих переменных непрерывна и дифференцируема (не менее второго порядка),
– Евклидово
пространство,
.
2. Методические указания по решению
тестовой задачи безусловной минимизации
В качестве тестовой задачи безусловной минимизации рассмотрим следующую задачу, математическая постановка которой заключается в следующем.
Определить оптимальные значения переменных x и y, доставляющих экстремум целевой функции многих (двух) переменных:
f(x, y) = 3x^3 – x + y^3 – 3y^2 – 1,
где x и y – независимые переменные.
2.1. Первый способ решения задачи
Он заключается в определении экстремума функции многих переменных по определителю матрицы Гессе и знакам миноров с помощью какой – нибудь математической системы, например MathCad.
Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия.
1. Вводится с клавиатуры заданная тестовая функцию
Вычисляются первые частные производные заданной тестовой функции f(x,y).
3. Приравниваются нулю первые производные и вычисляются все корни.
Получаем
четыре критические точки (0.333; 0), (0.333;
2), (-0,333;0),(0.333;2).
4. Вычисляются вторые частные производные заданной тестовой функции f(x,y).
5. Составляется матрица вторых производных (Hessian(x,y):=)
6 0
H(0.333, 0) =
0 - 6
6. Находится определитель det(x,y) := |Hessian(x,y)|
| 6 0 |
|H(0.333, 0)| = | | = – 36
| 0 - 6 |
Точка (0.333, 0) не является точкой экстремума, так как значения угловых миноров гессиана чередуются по знаку, начиная с положительного.
7. Составляется матрица вторых производных (Hessian(x,y):=)
– 6 0
H(– 0.333, 0) =
0 – 6
8. Находится определитель det(x,y) := |Hessian(x,y)|
| – 6 0 |
|H(0.333, 0)| = | | = 36
| 0 – 6 |
Точка (– 0.333, 0) является точкой локального экстремума, так как значения угловых миноров гессиана чередуются по знаку, начиная с отрицательного, то есть данная функция в окрестности этой точки вогнутая.
10. Составляется матрица вторых производных (Hessian(x,y):=)
6 0
H( 0.333, 2) =
0 6
11. Находится определитель det(x,y) := |Hessian(x,y)|
| 6 0 |
|H(0.333, 0)| = | | = 36
| 0 6 |
Точка (0.333, 2) является точкой локального экстремума, так как значения угловых миноров гессиана положительны, то есть данная функция в окрестности этой точки выпуклая.
12. Составляется матрица вторых производных (Hessian(x,y):=)
– 6 0
H(– 0.333, 2) =
0 6
13Находится определитель det(x,y) := |Hessian(x,y)|
| – 6 0 |
|H(0.333, 2)| = | | = – 36
| 0 6 |
Точка (– 0.333, 2) не является точкой локального экстремума, так как значения угловых миноров гессиана отрицательны.
14. Построить графики функции f(x, y) и линий уровня.
15. Решить данную задачу при различных числовых значениях коэффициентов заданной функции многих переменных, а также
задаваясь различной точностью вычислений системы MathCad.