2. Методические указания к решению тестовой задачи

Для выполнения данной работы необходимо осуществить следующие действия:

1. Вызвать браузер Internet Explorer;

2. В адресную строку ввести адрес Web – страницы, указанный преподавателем. Щелкнуть мышью по кнопке Go.

На экране высветится диалоговое окно со следующими параметрами алгоритма (по умолчанию):

Вариант 12,

точность результата ε = 0,1,

коэффициент отражения  = 1,

коэффициент растяжения  = 2,

коэффициент сжатия γ = 0,25.

коэффициент редукции δ = 0,5.

В первой строке приведены координаты начальных вершин треугольника

x¹=(0, 0), x²=(0, 3), x³ = (3, 0);

3. Для решения задачи с помощью Java Applet необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши по кнопке “Посчитать”.

4. На основании результатов решения данной задачи построить деформируемый многоугольник для нескольких итераций (не менее 3-4) с приведением необходимых численных расчетов, согласно данному методу;

5. Решить данную тестовую задачу с получением распечаток при различных величинах точности результата − 0,4; 0,2; 0,05 результата. Сделать соответствующий вывод;

5. Решить данную тестовую задачу для 2-3 различных значений координат начальных вершин.

3. Методические указания по решению индивидуальной контрольной задачи

1. Для решения индивидуальной контрольной задачи необходимо

в строку с именем Вариант:, в соответствующее поле ввести номер варианта, данного преподавателем, проводящим занятие;

щелкнуть левой кнопкой сыши по кнопке “Посчитать”.

2. Решить контрольную задачу с несколькими (3 – 4) различными числеными значениями координат начальных вершин треугольника.

3. По результатам решения задачи построить деформируемый многоугольник.

4. Решить задачу с 2-3 различными значениями точности.

5. Решить задачу, изменяя коэффициенты ,  и  в соответствии с рекомендациями преподавателя, проводящего занятие.

6. На основании результатов решения данной задачи построить деформируемый многоугольник для нескольких итераций (не менее 3 – 4).

7 . Составить отчет по выполненной лабораторной работе при решении тестовой и индивидуальной задач минимизации функций многих переменных.

4. Методические указания по выполнению

лабораторной работы

1. Изучить метод деформируемого многогранника.

2 Решить тестовую задачу.

4. Решить индивидуальную контрольную задачу.

5. Составить отчет по выполненной лабораторной работе.

5. Содержание отчета

Отчет по данной работе должен содержать:

- краткое изложение постановки и методики решения задачи;

- математическую модель тестовой задачи;

- решение тестовой задачи с распечатками результатов решения;

- постановку и решение индивидуальной задачи, представленной студенту преподавателем.

6. Вопросы

1. Перечислить методы нулевого порядка решения задач безусловной минимизации функций многих переменных.

2. В чем заключается сущность метода деформируемого многогранника?

3. Перечислить основные шаги метода деформируемого многогранника.

4. Какая программа использована в данной лабораторной работе?

5. Возможно ли решить с помощью данной программы другие функции многих переменных?

6. Как влияют изменения коэффициентов растяжения, сжатия и отражения на результат решения задачи методом деформируемого многогранника?

7. Как влияют изменения величины точности на результат решения рассматриваемых в лабораторной работе задач?

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 5 (2 часа)

Решение задач безусловной минимизации методом сопряженных

градиентов с использованием системы Mathcad

Цель работы – изучение метода сопряженных градиентов, приобретение практических навыков ввода исходных данных конкретных задач минимизации функций многих переменных в системе MathCad, построение графиков поверхностей и линий уровня, получение и анализ результатов решения задачи, исследование результатов решении при вариации различных параметров.

1. Математическая постановка тестовой задачи

В качестве тестовой задачи безусловной минимизации рассмотрим задачу, математическая постановка которой заключается в следующем.

Определить оптимальные значения переменных х и y, минимизирующих функцию Розенброка

f(x, y) = 100(y – x²)² + (1 – x)²

2. Методические указания по подготовке и

решению тестовой задачи

Для выполнения данной работы необходимо осуществить следующие действия:

1. Вызвать Mathcad;

2.Ввести с клавиатуры функцию Розенброка

f(x, y) := 100(y – x²)² + (1 – x)²

3. Ввести численное значение начальных точек х = 2, y = – 2;

4. Ввести

given

minimize(f, x, y)

5. Выбрать метод решения тестовой задачи и точность ее решения:

5.1. Щёлкнуть правой кнопкой мыши по функции

minimize(f, x, y)

На экране появится меню с выделенными флажками:

Nonlinear – нелинейное программирование;

Conjugate Gradient – метод сопряженных градиентов.

5.2. В меню со списком возможных методов решения задач нелинейного программирования, щелкнуть левой кнопкой мыши на опции

Advanced Option … (дополнительные параметры);

просмотреть отмеченные флажками параметры;

Derivative estimation -опция Central (аппроксимация с помощью центральной разности);

Variable estimation -опция Tangent (по направлению вектора градиента);

Следующим параметром должна быть установлена опция Linear variable check, Multistart, Evoltionary - опции no;

6. Щелкнуть мышью по значку = панели инструментов Calculator и получить оптимальные значения переменных x, y и минимальное числовое значение функции f(x, y);

7. Для решения тестовой задачи использовать различные величины точности:

TOL = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001. Для задания точности щелкнуть мышью на меню Tools (Иструменты) главного меню Mathcad. В появившемся меню щёлкнуть по команде Worksheet Options … (Параметры). Появится диалоговое окно, в котором необходимо выбрать вкладку Build-in Variable (Переменные). В результате появится список параметров, среди которых будет параметр Convergance Tolerance (TOL), численное значение которого по умолчанию будет равно 0,001.

7.1. Изменить точность решения задачи и получить новое решение;

8. Решить тестовую задачу при различных начальных точках, например,

x = 1, y = – 1;

x = 4, y = – 4;

x = 8, y = 8.

9. Построить график функции f(x, y) и линии уровня.

Для этого щелкнуть мышью по меню Format главного меню, выделить опцию Graph, в результате чего высветится дополнительный список опций, в котором следует выбрать опцию 3D Plot и щелкнуть мышью. На экране появится очередное диалоговое окно с именем 3 – D Plot Format, в котором следует поочередно устанавливать флажки на командах Surface Plot, contour Plot, Bar Plot.

Для исследования поверхности следует проварьировать команды Rotation, titl, Twist (Вращение, наклон, Искривление – вкладка “Общие”).

10. Составить отчет по решению тестовой и индивидуальной задач.

3. Методические указания по решению

индивидуальной контрольной задачи

1. Получить у преподавателя, проводящего занятия, минимизируемую функцию.

2. Решить данную задачу при различных численных значениях

начальной точки,

точности Tol.

3. Построить графики функции f(x, y) и линии уровня.

4. Cоставить отчет по выполненной индивидуальной контрольной задаче минимизации функций многих переменных.

4. Методические указания по выполнению

лабораторной работы

1. Первоначально необходимо изучить основные стандартные команды главного меню математической системы MathCad.

2. Изучить метод сопряженных градиентов.

3. Решить тестовую задачу.

4. Решить индивидуальную контрольную задачу.

5. Составить отчет по выполненной лабораторной работе.

5. Содержание отчета

Отчет по данной работе должен содержать:

- краткое изложение постановки и метода решения задачи;

- математическую модель тестовой задачи и ее решение;

- постановку и решение индивидуальной задачи, представленной студенту преподавателем.

6. Вопросы

1. Перечислить методы нулевого порядка решения задач безусловной минимизации функций многих переменных.

2. В чем заключается сущность метода сопряженных градиентов?

3. Перечислить основные шаги метода сопряженных градиентов.

4. Какая программная система использована в данной лабораторной работе?

5. Возможно ли решить с помощью данной программы различные функции многих переменных?

6. Как влияют изменения числовых значений начальной точки на результаты решения задач методом сопряженных градиентов?

7. Как влияют изменения величины точности на результат решения рассматриваемых в лабораторной работе задач?

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 6 (2 часа).