Тема 4.5. Исследование устойчивости нелинейных систем

Понятия устойчивости по Ляпунову для нелинейных систем. Устойчивость в малом, в большом, в целом, абсолютная устойчивость. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Исследование нелинейных систем с помощью функции Ляпунова. Абсолютная устойчивость. Частотный критерий абсолютной устойчивости, теорема Попова.

[6, с. 513-530].

Тема 4.6. Нелинейные импульсные системы. Цифровые сау

Способы нелинейной импульсной модуляции. Уравнения нелинейных импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией. Уравнения импульсных систем с широтно-импульсной и времяимпульсной модуляцией. Метод гармонической линеаризации. Устойчивость нелинейных импульсных систем. Теорема Ляпунова. Применение функций Ляпунова. Абсолютная устойчивость, критерий Попова. Цифровые системы автоматического управления и способы их описания.

[6, с. 445-473, с. 683-700].

Раздел 5. Особые САУ

Тема 5.1. Адаптивные САУ

Классификация адаптивных САУ. Самонастраивающиеся системы, поисковые и беспоисковые. Методы поиска экстремума: сканирование, метод Гауса-Зайделя, метод градиента, метод наискорейшего спуска. Принципы построения беспоисковых самонастраивающихся систем. Адаптивные системы с переменной структурой.

[6, с. 723-740].

Тема 5.2. Оптимальные САУ

Общая постановка задачи оптимального управления. Метод классического вариационного исчисления. Принцип максимума Понтрягина. Задача максимального быстродействия. Метод динамического программирования.

[6, с. 703-720].

Тема 5.3.Случайные процессы в САУ

Случайные процессы и их характеристики. Расчет линейных непрерывных САУ при случайных воздействиях. Случайные процессы в линейных импульсных системах. Статистическая линеаризация нелинейных элементов.

[6, с. 291-338].

2. Контрольная работа

Контрольная работа предусмотрена только для студентов заочной формы обучения. Для каждой контрольной работы приведено тридцать вариантов заданий. Студент должен выполнить вариант, номер которого совпадает с двумя последними цифрами номера его зачетной книжки. В начале работы следует привести полностью задание и исходные данные, а в конце – список используемой литературы.

Оформляется контрольная работа в ученической тетради рукописным способом, либо печатается на компьютере на стандартных листах формата А4. Графики выполняются с соблюдением требований ЕСКД и следуют по ходу изложения текстового и расчетного материала. Работа предоставляется в деканат не менее, чем за пятнадцать дней до начала экзаменационной сессии. Неряшливо оформленные работы могут быть возвращены студенту без рецензирования. В случае существенных замечаний работа отправляется на доработку. Если замечаний нет, а также при несущественных замечаниях, работа допускается к защите.

Расчеты в контрольной работе можно полностью выполнять вручную, либо частично с использованием ЭВМ. В разделе 4 «Компьютерное моделирование САУ» конспективно излагаются некоторые способы и методы моделирования систем автоматического управления с помощью пакета Matlab.

Исходные данные к контрольной работе

Структурная схема линейной САУ представлена на рисунке 1, где соответствующие передаточные функции имеют вид апериодических звеньев:

; ; .

Параметры Т₁, Т₂, Т₃, K₁, K₃ для каждого варианта задания представлены в таблице 2. Величина коэффициента выбирается далее из условия устойчивости.

Рисунок 1

Варианты задания приведены в таблице 2.

Таблица 2

Номер варианта	T1	T2	T3	K1	K3
1	2	3	4	5	6
1	0,01	0,2	0,06	16,5	1
2	0,02	0,3	0,07	16	1,1
3	0,03	0,4	0,08	15,5	1,2
4	0,04	0,5	0,09	15	1,3
5	0,05	0,6	0,1	14,5	1,4
6	0,06	0,7	0,15	14	1,5
7	0,07	0,8	0,2	13,5	1,6
8	0,08	0,9	0,25	13	1,7
9	0,09	1	0,3	12,5	1,8
10	0,05	1,1	0,15	12	1,9
11	0,06	1,2	0,2	11,5	2
12	0,07	1,3	0,25	11	2,1
13	0,08	1,4	0,3	10,5	2,2
14	0,09	1,5	0,35	10	2,3
15	0,1	1,6	0,4	9,5	2,4
16	0,01	0,2	0,1	9	2,5
17	0,02	0,3	0,2	8,5	2,6
18	0,03	0,4	0,3	8	2,7
19	0,04	0,5	0,4	7,5	2,8
20	0,05	0,6	0,5	7	2,9
21	0,06	0,7	0,6	6,5	3
22	0,07	0,8	0,7	6	3,1
23	0,08	0,9	0,8	5,5	3,2
24	0,09	1	0,9	5	3,3
25	0,1	1,1	0,4	4,5	3,4
26	0,2	1,2	0,5	4	3,5
27	0,3	1,3	0,6	3,5	3,6
28	0,4	1,4	0,7	3	3,7
29	0,5	1,5	0,8	2,5	3,8
30	0,6	1,6	0,9	2	3,9

Задание

1. Найти передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы: при , (т.е. разомкнута главная обратная связь); при   главная передаточная функция замкнутой системы; при   передаточная функция замкнутой системы по ошибке; при   передаточная функция замкнутой системы по возмущению. Параметры , входят в передаточные функции в общем виде, т.е. в буквенных символах.

2. Найти характеристическое уравнение замкнутой системы. Используя критерий Гурвица, записать в общем виде условия устойчивости. При заданных в таблице 2 параметрах , , , , найти максимальное граничное значение коэффициента передачи при котором система еще устойчива. В дальнейшем полагать .

3. Найти аналитические выражения и построить графики:

 – амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы;

 – амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) разомкнутой системы;

 – фазо-частотной характеристики (ФЧХ) разомкнутой системы;

 − логарифмических амплитудно- и фазо-час-тотных характеристик (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой системы;

 вещественной частотной характеристики замкнутой системы;

 амлитудно-частотный характеристики замкнутой системы.

4. Используя полученные и построенные характеристики, найти и оценить следующие показатели качества системы:

   статическую ошибку при подаче на ее входе единичного ступенчатого воздействия;

 частоту среза системы , запасы устойчивости системы по амплитуде и фазе ;

 показатель колебательности системы ;

 время регулирования t_p и перерегулирование .

5.Найти дифференциальное уравнение замкнутой системы, связывающее и (полагая ).

6. Найти уравнения состояния замкнутой системы в векторно-мат-ричном виде, в нормальной форме, связывающие координаты и (полагая ).

Методические указания

1.Передаточные функции находятся с использованием правил структурных преобразований [1, с. 27-34].

2.Если найдена главная передаточная функция замкнутой системы в виде , где K = K₁K₂K₃ − общий коэффициент передачи прямой цепи, − полином относительно , то характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

.

Коэффициенты зависят от параметров системы , . Условие устойчивости в соответствии с критерием Гурвица для системы третьего порядка имеет вид: , . При заданных из полученных условий устойчивости определяется ограничение на величину коэффициента передачи далее принимается [1, c. 47-50].

3. Определение частотных характеристик и их построение подробно изложены в [1, c. 17, 34]. АФЧХ строится на комплексной плоскости. Ось абсцисс − действительная ( ), а ось ординат − мнимая ( ). Частота изменяется от до . Все остальные характеристики имеют ось абсцисс, на которой откладывается частота (для ЛАЧХ и АФЧХ в логарифмическом масштабе) и соответствующую ось ординат (это модуль или фаза).

Все частотные характеристики строятся обычным способом. Задавая величину дискретно: , , ..., находят соответствующее значение ординаты и по точкам строят характеристику. ЛАЧХ обычно строится в виде асимптотической характеристики, состоящей из отрезков прямых.

4. Статическая ошибка определяется по формуле , где . Частота среза определяется по графику ЛАЧХ. Это значение частоты, при котором пересекает ось абсцисс и где . Запасы устойчивости и также находятся из логарифмических характеристик [1, с. 56]. Показатель колебательности определяют из графика амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы , как . Время регулирования и перерегулирование ориентировочно можно оценить, используя максимальное значение P_max вещественной частотной характеристики и частоту среза .

Графики, связывающие , , P_max и представлены в [1, с. 78].

5. Зная передаточную функцию, связывающую изображения входа и выхода системы, нетрудно получить дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную координаты системы [1, c. 33].

6. По дифференциальному уравнению, найденному в предыдущем пункте, легко найти уравнения состояния в нормальной форме [1, с. 90].