3.2. Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

Исходные данные

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью , где T – период дискретизации, . Исходные данные для расчетов приведены в таблице 4. Для всех вариантов заданий передаточная функция непрерывной части имеет вид

.

Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией

.

Структурная схема системы представлена на рисунке 3. В таблице 4 T – период дискретизации; T₁, – постоянные времени имеют размерность секунды; К₀ – коэффициент передачи НЧ имеет размерность с^-1 и выбирается далее.

Рисунок 3

Таблица 4

Номер варианта		Т	Т1
1	0,3	1	1	0,1
2	0,3	0,9	0,9	0,2
3	0,3	0,8	0,8	0,2
4	0,3	0,7	0,7	0,1
5	0,3	0,6	0,6	0,1
6	0,3	0,5	0,5	0,2
7	0,3	0,4	0,4	0,2
8	0,3	0,3	0,3	0,1
9	0,3	0,2	0,2	0,1
10	0,3	0,1	0,1	0,05
11	0,5	1	1	0
12	0,5	0,9	0,9	0
13	0,5	0,8	0,8	0
14	0,7	0,7	0,7	0
15	0,7	0,6	0,6	0
16	0,7	0,5	0,5	0
17	0,7	0,4	0,4	0
18	0,8	0,3	0,3	0
19	0,8	0,2	0,2	0
20	0,8	0,1	0,1	0
21	1	1	1	0
22	1	0,9	0,9	0
23	1	0,8	0,8	0
24	1	0,7	0,7	0
25	1	0,6	0,6	0
26	1	0,5	0,5	0,1
27	1	0,4	0,4	0,1
28	1	0,3	0,3	0,1
29	1	0,2	0,2	0,01
30	1	0,1	0,1	0,01

Задание

1. Найти передаточные функции импульсной САУ: – разомкнутой системы, – замкнутой системы, – системы по ошибке. Параметры T, T₁, , K₀, входят в выражения передаточных функций в общем виде, т.е. в буквенном виде. Далее в пункте 3.2 знак * будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.

2. Найти интервал изменения коэффициента передачи K₀, при котором система будет устойчива . Для дальнейших исследований выбрать значение

3. Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы и при заданных значениях T, T₁, , и выбранном . По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю и фазе .

4. Определить ошибку системы по скорости при входном воздействии (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок .

5. Вычислить переходной процесс в системе при воздействии (скачок по положению).

Краткие методические указания

1. Основное для дальнейшего правильно определить передаточную функцию разомкнутой системы. Приведем краткую методику, следуя [5, с. 24-31], [6, с. 412]. Передаточную функцию представляем в виде суммы двух слагаемых , где A и B выражаются через . Далее к применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы . В соответствии с [5, с. 31] имеем , , .

Таким образом, имеем

,

где в коэффициенты A, B входит коэффициент передачи K₀. Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом

.

Передаточные функции замкнутой системы легко находятся по выражениям

, .

2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы , которое для нашего случая будет иметь вид . В соответствии с алгебраическим критерием [6, c. 432] замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств

, , .

В неравенстве при известных значениях , , , входит величина K₀.

Таким образом, можно выделить отрезок значений , при которых система будет устойчива и далее принять .

3. Для построения логарифмических характеристик разомкнутой системы в передаточной функции делаем замену переменной [5, с. 40], [6, с. 433]

, ,

где  обычная частота,  псевдочастота, мнимая единица. При изменении частоты в диапазоне псевдочастота изменяется от до , при псевдочастота . В результате замены передаточная функция преобразуется в частотную характеристику относительно псевдочатоты следующего вида

,

где  некоторые числа при заданных K₀, , , , . Величины можно интерпретировать как постоянные времени, причем некоторые из них могут быть отрицательными. Далее находится ,   амплитудная и фазовая частотные логарифмические характеристики системы. Построение их производится как и для непрерывного случая (смотри примеры [5, c. 41-43, 6, c. 434]).

По построенным характеристикам и определяем частоту среза там, где пересекает ось абсцисс , а также точку, где . В этих точках находим запасы устойчивости системы по модулю и фазе .

Следует помнить, что исходя из пункта 2 при заданных параметрах, система всегда будет устойчива.

4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию

где .

В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная вычисляется по формуле . Величина , а коэффициент ошибки находится по следующей формуле

,

где  передаточная функция системы по ошибке. Более подробно смотри [11, c. 115].

5. В случае низкого порядка системы переходной процесс на выходе в дискретные моменты времени нетрудно вычислить аналитически, либо путем моделирования в среде Matlab (в последнем случае ограничения на порядок системы не имеет значения).

Рассмотрим два способа аналитического вычисления процесса .

Первый способ базируется на дискретном преобразовании Лапласа ( -преобразовании). В этом случае [11, с. 43] реакция системы на единичное воздействие – переходная функция, которая вычисляется по формуле

,

где два различных корня характеристического уравнения замкнутой системы ,   передаточная функция замкнутой системы, а вычисляются из выражения

, .

Задавая , получим значения и построим точечный график переходного процесса. Если корни уравнения одинаковые (кратный корень), то существует аналогичная формула [11] вычисления .

Второй вариант [6, c. 411] вычисления переходного процесса базируется на рекуррентных свойствах разностных уравнений. Если известна передаточная функция замкнутой системы

,

то несложно найти разностное уравнение, связывающее выход и вход в дискретные моменты времени k

,

которые можно представить в виде

.

Зададим начальные значения переменных , , , тогда с учетом получаем рекуррентное соотношение для вычисления . Задавая последовательно , , и т. д. находим , и т.д. Зная , можно построить точечный график переходного процесса.