Построение схем на основе логического выражения в кнф
Пусть
задано логическое выражение в КНФ
Заметим, что для получения выхода Q
члены (термы) этого выражения
и
должны быть связаны функцией 2-И. Кроме
того, анализ исходного выражения
указывает на то, что потребуется также
элемент 3-ИЛИ (первая скобка), элемент
2-ИЛИ (вторая скобка), а также два элемента
НЕ (во второй скобке над переменными А
и В
черта). Схема, приведенная на рис.29,
представляет собой электрическую схему,
реализующую логическое выражение
Преобразуя логическое выражение в электрическую схему, будем двигаться справа налево (от выхода ко входу).
Рис.29. Электрическая
схема, реализующая заданное логическое
выражение
Логические схемы можно построить на основе булевых выражений в дизъюнктивной или конъюнктивной нормальных формах. В первом случае получаются логические схемы типа И-ИЛИ (рис.28), а во втором схемы типа ИЛИ-И (рис.29).
5.3. Таблицы истинности для логических выражений
Логические
выражения
– это
удобный метод описания принципа работы
логической схемы. Кроме того, часто при
проектировании электронных цифровых
систем разработчик вначале из условий,
решаемой задачи получает ее формальное
представление в виде логического
выражения. Таблица истинности – это
другой точный метод описания того, как
работает логическая схема. При работе
с цифровыми электронными устройствами
надо уметь преобразовывать информацию,
представленную в форме таблицы истинности,
в логическое выражение. Например, дана
таблица истинности, изображенная на
рис.30,а.
Заметим, что только две из восьми
возможных комбинаций двоичных сигналов
на входах А,
В
и С
дают на выходе логическую единицу. Эти
две возможные комбинации представлены
выражениями
и
.
Входы |
Выход |
||
С |
В |
А |
Q |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Рис.30. Построение логического выражения на основе таблицы истинности
На рис.30,б показано, каким образом эти две комбинации связываются логической функцией ИЛИ, чтобы получить булево выражение для данной таблицы истинности. Как таблица истинности на рис.30,а, так и логическое выражение на рис.30,б показывают принцип действия одной и той же логической схемы.
Часто конструирование логических схем начинается с составления таблицы истинности. Поэтому важно уметь преобразовывать информацию в форме таблицы истинности в логические выражения.
5.4. Пример решения логической задачи
Чтобы зафиксировать навыки выполнения процедур, описанных в разделах 5.1 – 5.3, рассмотрим на примере часто встречающуюся на практике логическую задачу. Предположим, что конструируем простой электронный замок. Замок должен открываться в том случае, когда определенные ключи замкнуты. На рис.31,а приведена таблица истинности для электронного замка. Обратите внимание, что две комбинации входов А, В и С дают на выходе логическую единицу, которая означает, что замок открыт. На рис. 31,б показано, каким образом получается логическое выражение для электронного замка в дизъюнктивной нормальной форме.
а)
Входы |
Выход |
|||
С |
В |
А |
Q |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 в) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
б)
Рис.31. Задача об электронном замке: а – таблица истинности; б – логическое выражение; в – логическая схема
Затем, в соответствии с полученным логическим выражением, составляется логическая схема (рис.31, в). В логической схеме на рис. 31, в для простоты вместо электрического реле механизма замка включена лампочка.