4.5 Кореляційний аналіз сигналів

Ступінь взаємної залежності випадкових значень процесу в різноманітні моменти часу характеризується автокореляційною функцією. Фізична сутність кореляційних функцій випливає з розгляду їхні значення для детермінова-них сигналів.

Автокореляційна функція для детермінованного сигналу має вид

, (4.40 )

де  - величина тимчасового зсуву сигналу.

При великій тривалості реалізації автокореляційну функцію можна знаходити по формулі

. (4.41)

B() характеризує степінь зв’язку сигналу зі своєю копією, зміщеної на величину  по осі часу. Функція досягає максимуму при =0, коли

, (4.42)

тобто коли автокореляційна функція вироджується в середню потужність сигналу, що виділяється на одноомному опорі.

Автокореляційну функцію флуктуацій можна висловити як

(4.43)

При =0 автокореляційна функція флуктуацій визначає середню потужність процесу за відрахуванням постійної складової, тобто дисперсію

. (4.44 )

З наведених формул очевидно, що автокореляційна функція стаціонарного процесу є парною функцією . Часто вживається також поняття нормованої автокореляційної функції, що визначається співвідношенням

. (4.45)

Чим більш плавно змінюється в часі f(t), тим більше інтервал , у межах якого спостерігається статистичний зв’язок між миттєвими значеннями f(t) і f(t+Для періодичного сигналу його автокореляційна функція також періодична, причому періоди сигналу і його автокореляційної функції збігаються.

Вхідний у формули (4.40)-(4.43) при рішенні практичних час Т задач звичайно беруть кінцевим, у 5-10 разів переважаючий період самої низькочастотний складової, вхідної до складу f(t). У випадку періодичних функції, можливо інтегрування по періоді.

Р исунок 4.2 – Схема вмикання ваттметра, що заміряє автокореляційну функцію

Автокореляційну функцію можна осмислити як показання своєрідно включеного ваттметра (рис.4.2). Усереднюючи добуток струму в часі, причому період усереднення значно більше часу затримки , створюваного лінією затримки ЛЗ, ваттметр показує величину, пропорційну B(). У випадку синусоїдального сигналу одержуємо

що, з огляду на залежність

дає

,

або .

Для випадкових процесів величина B_ф() (а отже, і R()) зменшується зі збільшенням  і вже при порівняно невеликих  стає достатньо малою. Інтервал часу від =0 до =₀, при якому B_ф() стає достатньо малою, називають інтервалом автокореляцій.

Ц ей інтервал може визначатися по-різному. Іноді його розраховують як час _, при якому нормована Автокореляційна функція R() зменшується до визначеного значення  (5 (рис. 4.3, а), тобто вирішується рівняння

. (4.46 )

а - виходячи з частки R(0)=1; б - еквівалентним у сенсі площі прямокутником

Рисунок 4.8 – Принцип визначення інтервалу

автокореляції

Інший метод розрахунку інтервалу автокореляції ₀ зводиться до визначення половини ширини прямокутника, площа якого при висоті, рівній одиниці, відповідає площі, обмеженої кривої коефіцієнта кореляції і віссю координат (рис. 4.3, б), тобто обчислюється інтеграл

. (4.47 )

Взаємну залежність двох різних випадкових процесів оцінюють функцією їхньої взаємної кореляції, що записується:

. (4.48 )

Ця функція не обов’язково досягає максимуму при =0 і також не обов’язково буде парної щодо . На відміну від автокореляційної функції, що не дає ніякої інформації про початкову фазу сигналу, функція взаємної кореляції двох гармонійних коливань залежить від різниці фаз. Вона залишається незмінної при перерві чергування індексів і зміні знака аргументу, тобто

. (4.49 )

Для двох випадкових процесів взаємна кореляційна функція характеризує ступінь їхнього зв’язку. Якщо процеси незалежні, тобто, некоррелювані, те B₁₂()=0, проте це твердження не має зворотної сили.

Для автокореляційної функції випадкового процесу може бути введене поняття її прямого перетворення по Фур’є, аналогічного визначенню спектральної щільності детермінованного неперіодичного сигналу.

Приймаючи, що автокореляційна функція В_ф() поза межами від t =-T до t =+T дорівнює нулю, за аналогією з формулою (4.26) можна записати вираз спектральної щільності (інтенсивності) цієї функції, називаний також енергетичним спектром функції В_ф():

. (4.50 )

Але тому що

. (4.51 )

функції В_ф() і cos  парні, a sin  непарна, то формула (4.50) може бути переписана у вигляді

. (4.52 )

З огляду на те, що верхньою межею інтегрування, по суті, є інтервал автокореляції то, можна стверджувати, що наведена функція дійсна і позитивна при всіх частотах, парна і не містить інформації про фазу. Останнє позначає, що їй може відповідати декілька різноманітних функцій часу, що відрізняються своєю початковою фазою.

Скориставшись зворотним перетворенням Фур’є [як у формулі (4.27)], можна висловити залежність автокореляційної функції від її спектральної щільності:

. (4.53 )

Останній вираз, з огляду на властивість парності, можна перетворити в рівність

. (4.54 )

Формули (4.50) і (4.53), а також, відповідно, формули (4.52) і (4:54) були запропоновані А. Я. Хінчиным і Н. Вінером. У літературі їх називають формулами Вінера-Хінчина. З них випливає, що чим ширше енергетичний спектр випадкового процесу, тим менше час кореляції і, навпаки, чим більше час кореляції, тим вужчий спектр процесу. Поклавши =0, одержуємо:

. (4.55 )

тобто значення автокореляційної функції при =0 визначаєть-ся через Ф₁().