5.Потрійний інтеграл

Д о потрійного інтегралу приводить багато задач. Однією з них є задача про масу неоднорідного тіла G. Нехай у просторі задано неоднорідне тіло G (рис. 8) і - його густина. Треба знайти масу тіла G.

У випадку однорідного тіла, коли , маса m тіла G, очевидно, дорівнює , де V - об’єм тіла G.

Якщо тіло G неоднорідне, то його масу m природно визначити так. Сіткою поверхонь (T) розіб’ємо тіло G на частини …, . Позначимо об’єм частини . У кожній частині довільно візьмемо по одній точці і будемо вважати, що густина у частині скрізь однакова і дорівнює . Таке припущення виправдане, якщо функція неперервна в області G, а частини достатньо малі. Позначимо , . Тоді і за масу m тіла G природно взяти

якщо ця границя існує.

Таким чином, за означенням,

(10)

Границю справа у рівності (10), якщо вона існує, називають потрійним інтегралом функції по області G і позначають символом або .

Проводячи аналогічні міркування для функції змінних x, y, z, приходимо до означення потрійного інтеграла функції по області G:

(11)

З рівності (10) і означення потрійного інтеграла випливає формула для обчислення маси тіла G:

(12)

яка ілюструє фізичний зміст потрійного інтеграла.

потрійний інтеграл існує, якщо область G обмежена і кубовна (тобто має об’єм), а функція неперервна в області G.

Основні властивості потрійного інтеграла аналогічні відповідним властивостям подвійного інтеграла і тому їх тут не наводимо.

7.Обчислення потрійного інтеграла у циліндричних координатах.

6.1. Потрійний інтеграл в циліндричних координатах.

У випадку циліндричних координат положення т. М у просторі визначається трьома числами φz (рис.10), де і φполярні координати проекції т. М на площину Оху і z – апліката т. М, тобто відстань точки до площини Оху.

При переході від прямокутних координат

x , y, z до циліндричних φz, пов’язаних

з x, y, z співвідношеннями

якобіан перетворення

Рис. 10.

Тоді дістанемо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

(17)

Приклад 5. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та .

Р озв’язання. Дане тіло G обмежене зверху частиною сфери , а знизу – частиною параболоїда (рис. 11). для обчислення об’єму тіла G використаємо формулу

Розв’язуємо систему рівнянь

і знаходимо лінію перетину даних поверхонь. Це буде коло , яке лежить у площині . Запишемо рівняння поверхонь у циліндричних координатах і . Проекцією тіла G на площину XOY є круг радіуса з центром у початку координат. Тому за формулою (17) маємо:

Обчислення об’єму цього тіла у декартових координатах значно складніше.

6.2. Потрійний інтеграл в сферичных координатах.

В сферичних координатах положення точки М у просторі визначається

трьома числами ρ, φ, – сферичні координати рис. 12), які пов’язані з декартовими координатами x, y, z формулами:

якобіан перетворення

Рис. 12

Тоді потрійний інтеграл у сферичних координатах:

(18)

_{Зауваження 1. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю G, користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь} та _{, які обмежують область G, записують в нових координатах.}

_{Зауваження 2. У випадку, коли G –трьохвісний еліпсоїд} то потрібно перейти до узагальнених сферичних координат за формулами:

Приклад 6. Обчислити об’єм кулі радіуса R.

Розв’язання. За формулою (18) маємо:

Таким чином, обчислення об’єму кулі показано з використанням визначеного (приклад 8), подвійного (приклад 4) і потрійного (приклад 9) інтегралів.