4. Застосування подвійних інтегралів.

7.1.1. Геометричні застосування подвійних інтегралів.

1º. Обчислення площі плоскої фігури.

Площа плоскої фігури, обмежена областю D, знаходиться за формулою:

(19)

Якщо область D визначена, наприклад нерівностями то

(20)

Якщо область D в полярних координатах визначена нерівностями то

(21)

2º. Обчислення об’ємів тіл.

Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі Оz і яке обмежене знизу областю D площини Оху, а зверху – поверхнею де функція неперервна та невід’ємна в області D, знаходиться за формулою:

(22)

3º. Обчислення площі поверхні

Я кщо поверхня σ, задана рівнянням проектується на площину Оху в область D (рис.13) і функції неперервні в цій області, то площу S поверхні σ знаходять за формулою:

(23) Рис. 13

Аналогічно, якщо поверхня задана рівнянням то

(24)

де D – проекція поверхні σ на площину уОz.

Якщо ж рівняння поверхні то

(25)

де D – проекція поверхні σ на площину хОz.

7.1.2. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки.

1º. Обчислення маси пластини.

Якщо матеріальна пластина займає на площині Оху область D і має змінну густину то маса пластини m обчислюється за формулою:

(26)

2º. Статичні моменти пластини відносно осей Ох і Оу знаходять за формулами:

(27)

У випадку однорідної пластини γ = const.

3º. Координати центра тяжіння пластини обчислюють за формулами:

(28)

де m – маса пластини, М_х, М_у – її статичні моменти відносно осей координат. У випадку однорідної пластини ця формула матиме вигляд:

(29)

де S – площа області D.

4º. Обчислення моментів інерції.

Моменти інерції пластини відносно осей Ох і Оу знаходять за формулами:

(30)

а момент інерції відносно початку координат:

(31)

Зауваження. Поклавши в цих формулах , можна отримати формули для обчислення геометричних моментів інерції плоскої фігури.

6. Обчислення потрійного інтеграла в декартових координатах.

При обчисленні потрійних інтегралів інтегрування проводять по трьох змінних, тобто областю інтегрування є деяка область в трьохвимірному просторі.

Нехай тіло G обмежене знизу поверхнею , зверху – поверхнею , де функції і неперервні в області D, яка є проекцією тіла G на площину XOY, збоку – циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі Oz, а напрямною є контур області D (рис. 9, а). Тоді, якщо функція неперервна в області G, має місце формула

(13)

Рис. 9, а. Рис. 9, б.

Якщо область D – проекція області G на площину Оху, обмежена лініями:

(рис. 9, б), тоді потрійний інтеграл від функції по області G визначається за формулою:

(14)

Якщо область G правильна в напрямі осі Ох:

де - неперервні функції, то має місце формула:

(15)

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

то

(16)

Тобто, при обчисленні потрійного інтеграла спочатку інтегрують функцію по одній із змінних (наприклад, z) за умовою, що інші дві змінні приймають довільні сталі значення в області інтегрування, потім результат інтегрують по другій змінній (наприклад, у) при довільному сталому значенні змінної х і нарешті виконують інтегрування по змінній х в максимальному діапазоні її змінення в області D.

Приклад 4. Обчислити , якщо область G обмежена поверхнями .

Розв’язання. Маємо: , область D обмежена лініями

Тому за формулою (13) маємо

.