3.8. Алгоритм численного интегрирования систем дифференциальных уравнений

Одна из удачных реализаций неявного метода второго порядка, которую можно считать модификацией метода трапеций, основана на комбинированном использовании явной и неявной формул Эйлера. Рассмотрим вопрос, почему такое комбинирование снижает погрешность и приводит к повышению порядка метода.

Предварительно отметим, что в методах -го порядка локальная погрешность, т.е. погрешность, допущенная на одном -м шаге интегрирования, оценивается старшим из отбрасываемых членов

в разложении решения в ряд Тейлора, где — постоянный коэффициент, зависящий от метода, — норма вектора -х производных , которая оценивается с помощью конечно-разностной аппроксимации, — значение времени внутри шага.

Если -й шаг интегрирования в комбинированном методе был неявным, т.е. выполненным по неявной формуле, то следующий шаг с тем же значением должен быть явным. Используя разложение решения в ряд Тейлора в окрестностях точки , получаем для -го неявного шага

 (1)

и для -го явного шага

 (2)

где и — величины неявного и явного шагов, а значения производных относятся к моменту . Подставляя (1) в (2), при получаем:

 (3)

т.е. погрешности, обусловливаемые квадратичными членами в (1) и (2) взаимно компенсируются, и старшим из отбрасываемых членов становится член с . Следовательно, изложенное комбинирование неявной и явной формул Эйлера дает метод интегрирования второго порядка.

Неявные методы и, в частности, рассмотренный комбинированный метод целесообразно использовать только при переменной величине шага. Действительно, при заметных скоростях изменения фазовых переменных погрешность остается в допустимых пределах только при малых шагах, в квазистатических режимах шаг может быть во много раз больше.

Алгоритмы автоматического выбора шага основаны на сравнении допущенной и допустимой локальных погрешностей. Например, вводится некоторый диапазон (коридор) погрешностей , в пределах которого шаг сохраняется неизменным. Если же допущенная погрешность превышает верхнюю границу диапазона, то шаг уменьшается, если же выходит за нижнюю границу, то шаг увеличивается.

3.9. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений

Вычисления при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) состоят из нескольких вложенных один в другой циклических процессов. Внешний цикл — цикл пошагового численного интегрирования, параметром цикла является номер шага. Если модель анализируемого объекта нелинейна, то на каждом шаге выполняется промежуточный цикл — итерационный цикл решения системы нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Параметр цикла — номер итерации. Во внутреннем цикле решается система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), например, при применении узлового метода формирования ММС такой системой является

 (1)

где — матрица Якоби, — вектор правых частей. Поэтому в математическое обеспечение анализа на макроуровне входят методы решения СНАУ и СЛАУ.

Для решения систем алгебраических уравнений можно применять прямые итерационные методы. К ним относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации. Для них необходимо выполнение довольно жестких условий сходимости, характерна сравнительно медленная сходимость.

Поэтому в современных программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно модель (1) получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости.

Представим СНАУ в виде

 (2)

Разлагая в ряд Тейлора в окрестностях некоторой точки , получаем

Сохраняя только линейные члены, получаем СЛАУ с неизвестным вектором :

 (3)

где — матрица Якоби. Решение системы (3) дает очередное приближение к корню системы (2), которое удобно обозначить .

Вычислительный процесс стартует с начального приближения и в случае сходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая как станет меньше допустимой погрешности .

Однако метод Ньютона не всегда приводит к сходящимся итерациям. Условия сходимости метода Ньютона выражаются довольно сложно, но существует легко используемый подход к улучшению сходимости. Это близость начального приближения к искомому корню СНАУ. Использование этого фактора привело к появлению метода решения СНАУ, называемого продолжением решения по параметру.

В методе продолжения решения по параметру в ММС выделяется некоторый параметр , такой, что при корень системы (2) известен, а при увеличении от до его истинного значения составляющие вектора плавно изменяются от до истинного значения корня. Тогда задача разбивается на ряд подзадач, последовательно решаемых при меняющихся значениях , и при достаточно малом шаге изменения условия сходимости выполняются.

В качестве параметра можно выбрать некоторый внешний параметр, например, при анализе электронных схем им может быть напряжение источника питания. Но на практике при интегрировании СОДУ в качестве выбирают шаг интегрирования . Очевидно, что при корень СНАУ равен значению вектора неизвестных на предыдущем шаге. Регулирование значений возлагается на алгоритм автоматического выбора шага.

В этих условиях очевидна целесообразность представления математических моделей для анализа статических состояний в виде СОДУ, как и для динамического анализа.

К другим методам решения систем алгебраических уравнений, используемым в математическом обеспечении САПР, относятся методы простой итерации, Зейделя, Якоби, релаксации.

В соответствии с методом простой итерации вычисления выполняют по формуле

 (4)

причем для обеспечения сходимости параметр нужно выбирать из условия для любого где — -е собственное значение матрицы Якоби.

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что правая часть итерационной формулы (4) обновляется сразу же после вычисления очередного элемента вектора .

В соответствии с методом Якоби вычисления выполняют по формуле

 (5)

где — диагональ матрицы Якоби системы уравнений (1).