4.3. Метод конечных элементов для анализа механической прочности

В качестве исходного положения в методе конечных элементов принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется как разность энергии деформации тела и работы массовых и приложенных поверхностных сил.

В свою очередь, в установившемся состоянии

 (1)

где — вектор-строка относительных деформаций, — вектор-столбец напряжений, , — рассматриваемая область в пространстве . Каждый элемент вектора характеризует напряжение, направленное вдоль оси и имеющее место в площадке, перпендикулярной оси . Аналогичный смысл имеют индексы у элементов вектора .

Деформации можно выразить через перемещения с помощью уравнений Коши

 (2)

где — перемещение вдоль оси , или в матричной форме

 (3)

где — очевидный из (2) оператор дифференцирования.

Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы , характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл. 1:

 (4)

Фигурирующие в табл. 1 коэффициент и модуль сдвига называют постоянными Ламе. Эти коэффициенты связаны с модулем упругости и коэффициентом Пуассона соотношениями и . В табл. 1 .

Подставляя (4) и (3) в (1), получаем

Таблица 1    

Решением задачи должно быть поле перемещений . В соответствии с МКЭ это решение аппроксимируется с помощью координатных функций и неопределенных коэффициентов, которые применительно к совокупности конечных элементов представим в матричной форме:

где — матрица координатных функций, — вектор неопределенных коэффициентов.

Заменяя ( ) на ( ), получаем

 (5)

где — матрица жесткости.

В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия имеем

или, дифференцируя (5), находим

 (6)

где — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности, согласно МКЭ, сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений (6).

Матрица жесткости оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (6) применяют методы разреженных матриц.

Примечание 1

Одним из широко известных методов разреженных матриц является метод прогонки, применяемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в системе алгебраических уравнений.

Для решения распределенных задач часто применяют метод Галеркина в рамках МКЭ. В методе Галеркина в случае анализа механической прочности изделий вместо выражения потенциальной энергии используют невязку, получающуюся после замены функции перемещения аппроксимирующим выражением в исходном дифференциальном уравнении Ламе (для статического режима)

Здесь — дифференциальный оператор , применяемый ко всем элементам вектора , — вектор массовых и приложенных сил, отнесенных к конечному элементу. Невязка по области конечного элемента при замене на

должна быть минимизирована. Используя весовые функции, равные аппроксимирующим выражениям , и необходимое условие экстремума получаем систему алгебраических уравнений (6).

Для практического применения МКЭ необходимо предварительно разработать математические модели конечных элементов (КЭ) и реализовать их в библиотеке КЭ программы анализа механической прочности.

Основой математической модели -го КЭ является квадратная матрица жесткости конечного элемента, размер которой равен числу неопределенных коэффициентов в части вектора , относящейся к этому КЭ. В свою очередь, размер этой части вектора есть произведение размерности пространства и числа узлов, выделенных в модели -го КЭ. то следует из того, что каждый неопределенный коэффициент в в задаче анализа механической прочности есть значение перемещения в направлении оси в -м узле. При получении модели КЭ используется матрица координатных функций конечного элемента, у которой число строк равно , а число столбцов × . Например, размер для КЭ в форме параллелепипеда с восемью узлами равен 24×24, так как размеры матриц , и суть 6×3, 3×24 и 6×6. При расчете сначала выбирают вид зависимости перемещений от пространственных координат. Затем преобразуют эти зависимости в выражения и с помощью интегрирования по пространственным координатам определяют матрицу жесткости КЭ.

При наличии библиотеки КЭ применение МКЭ сводится к следующим операциям:

1. Создание геометрической модели исследуемой среды (например, детали) с помощью программы геометрического моделирования или путем изображения вручную на экране дисплея эскиза (чертежа) изделия.

2. Выбор библиотечной модели КЭ, задание внешних нагрузок и значений геометрических и физических параметров, формулировка граничных условий. Следующие операции выполняются программой моделирования.

3. Реализация в модели сетки конечных элементов. Тем самым становятся известными координаты узловых точек в модели.

4. Приведение имеющихся объемных сил и поверхностных нагрузок к узловым точкам модели.

5. Объединение моделей КЭ в общую конечно-элементную модель детали (6), в которой матрица жесткости имеет порядок, равный , где — общее число узлов. При объединении элементы матрицы образуются суммированием тех элементов матриц жесткости отдельных КЭ, которые относятся к одному и тому же узлу и направлению перемещения. Если некоторый узел закреплен (его перемещение равно нулю), то соответствующие этому узлу строки в и и столбцы в вычеркиваются.

6. Содержание остальных операций соответствует блокам программы, рассмотренной применительно к анализу на макроуровне. Поскольку анализ механической прочности чаще всего проводится в стационарных режимах в пределах упругих деформаций, то следующей операцией является решение системы (6).

7. Представление результатов решения в удобной для пользователя форме. Наряду с числовым выводом результатов обычно используется графическое изображение деформированной детали, возможно представление распределений напряжений, деформаций, температур и т.п. внутри детали с указанием их интенсивности с помощью цветовой раскраски.

К числу известных программ анализа по МКЭ относятся ANSYS, NASTRAN, PATRAN и др.