2. Залежність між кутами, сторонами і діагоналями косого чотирикутника. Косий паралелограм

2.1 Сума кутів косого чотирикутника

Теорема. Сума  внутрішні кутів косого чотирикутника менше 2.

Доведення:

Оскільки сума будь-яких двох плоских кутів тригранного кута більше третього плоского кута, то для косого чотирикутника А1А2А3А4 маємо нерівності:

A₂A₁A₄ < A₃A₁A₄+A₂A₁A₃,

A₁A₂A₃ < A₁A₂A₄+A₃A₂A₄,

A₂A₃A₄ < A₁A₃A₄+A₁A₃A₂,

A₁A₄A₃ < A₁A₄A₂+A₂A₄A₃.

Сума

=A₁A₂A₃+A₂A₁A₄+A₂A₃A₄+A₁A₄A₃

менше суми кутів трекутників A₁A₂A₃, A₁A₂A₄, A₁A₃A₄, A₂A₃A₄, зменшеної на  :

 < (A₃A₁A₄+A₁A₃A₄)+( A₂A₁A₃+A₁A₃A₂)+( A₁A₂A₄+A₁A₄A₂)+

+( A₃A₂A₄+A₂A₄A₃),

 < (A₃A₁A₄+A₁A₃A₄+A₃A₄A₁-A₃A₄A₁)+

+(A₂A₁A₃+A₁A₃A₂+A₃A₂A₁-A₃A₂A₁)+

+(A₁A₂A₄+A₁A₄A₂+A₂A₁A₄-A₂A₁A₄)+

+( A₃A₂A₄+A₂A₄A₃+A₂A₃A₄-A₂A₃A₄);

або

 < +++-,

 < 4-,

2 < 4,

 < 2.

2.2 Залежність між сторонами та діагоналями косого чотирикутника

Розглянемо тетраедр А1А2А3А4. Проведемо через вершини А1, А2, А3 довільну сферу F, що пересікає ребра (прямі) А4А1, А4А2, А4А3 відповідно в точках Р1, Р2, Р3. Тоді площина Р1Р2Р3 паралельна дотичній площини в точці А4 до описаної біля тетраедра сфери. Для доказу цього досить відмітити, що прямі Р1Р2, Р2Р3, Р3Р1 відповідно паралельні прямим перетинання дотичної площини і площини граней тетраедра.На рисунке 2.1 намальована фігура, отримана в площині А4А1

Трикутник Р1Р2Р3 називається антипаралельним перетином тетраедра відносно вершини А4. Прямі Рipj називаються антипаралельними прямим A_iA_j (i,j=1,2,3).

Рисунок 2.1

Розглянемо одну властивість сторін трикутника Р1Р2Р3 .Нехай А_iA_j=а_ij и s-степень точки А₄ відносно сфери F , тобто

. (2.1)

Поділимо все це на

.

З подібності трикутників А1А4А2 і Р2Р1А4 отримуємо

 .

З подібності трикутників А₂А₃А₄ и Р₃Р₂А₄

 .

З подібності трикутників А₁А₃А₄ и Р₃Р₁А₄

 .

Враховуючи цю рівність, знаходимо:

,

. (2.2)

Отже, довжини сторін антипаралельного перетину тетраедра пропорциональни добутку довжин пар його протилежних ребер.

Тому антипаралельні перетини тетраедра відносно всіх його вершин подібні між собою.

З властивостей сторін трикутника Р1Р2Р3, що є антипаралельним перетином тетраедра А1А2А3А4 відразу слідує

,

,

,

,

,

. (2.3)

Таким чином, сума добутку протилежних сторін косого чотирикутника більше добутку його діагоналей. Це означає також, що сума добутку двох пар протилежних ребер тетраедра більше добутку третьої пари його протилежних ребер.

2.3 Нахилений паралелограм

Під нахиленим паралелограмом ми розуміємо нахилений чотирикутник, в якого протилежні сторони рівні. Якщо ABCD – нахилений паралелограм, то AB=CD, BC=DA, або а=а₁, b=b₁, якщо АВ=а, CD=а₁, ВС=b, DA=b₁ (рис.2.2).

Рисунок 2.2

Теорема. . Для того, щоб нахилений чотирикутник був нахиленим паралелограмом, необхідно і досить, щоб його протилежні кути були попарно рівні

Доведення:

Необхідність. У нахиленого паралелограма протилежні кути рівні: А=С, B=D. Насправді, якщо BD-діагональ паралелограма , то трикутники ABD и BCD рівні, (n-общая, а=а₁, b=b₁) поэтому А=С. Аналогічно доводиться рівність B=D.

Достатність. Якщо в косому чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, то він є нахиленим паралелограмом. Покладемо Ac=m, Bd=n. По теоремі конусів маємо:

n²=a²+b₁²-2ab₁cos A- з трикутника ABD,

n²=a₁²+b²-2a₁bcos C- з трикутника BCD,

m²=a²+b²-2abcos B- з трикутника ABC,

m²=a₁²+b₁²-2a₁b₁cos D- з трикутника ADC.

а) cos A = , cos C= ,

б) cos B= , cos D= .

Одже:

а) = ,

б) = .

Перетворимо ці дві рівності:

а) (а²+b₁²-n²)a₁b=(a₁²+b²-n²)ab₁,

(a²+b₁²)a₁b-(a₁²+b²)ab₁=n²(a₁b-ab₁).

б) (a²+b²-m²)a₁b₁=(a₁²+b₁²-m²)ab,

(a²+b²)a₁b₁-(a₁²+b₁²)ab=m²(a₁b₁-ab).

Або

а) a²a₁b₁+b₁²a₁b-a₁²ab₁-b²ab₁=n²(a₁b-ab₁),

aa₁(ab-a₁b₁)+bb₁(a₁b₁-ab)=n²(a₁b-ab₁),

(ab-a₁b₁)(aа₁-b₁b)=n²(a₁b-ab₁). (2.4)

б) a²a₁b₁+b²a₁b₁-a₁²ab-b₁²ab=m²(a₁b₁-ab),

aa₁(ab₁-a₁b)+bb₁(ba₁-b₁a)=m²(a₁b₁-ab),

(aa₁-bb₁)(ab₁-a₁b)=m²(a₁b₁-ab) . (2.5)

Цю рівність помножимо почленно:

(aa₁-bb₁)²(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)=m²n²(a₁b-ab₁)(a₁b₁-ab).

Звідси отримаємо:

(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)(aa₁-bb₁)²-m²n²=0,

або

(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)(aa₁-bb₁-mn)(aa₁-bb₁+mn)=0

Через нерівність (2.3)

(aa₁-bb₁-mn)(aa₁-bb₁+mn)<0, то есть 0.

Отже,

(ab-a₁b₁)(ab₁-a₁b)=0 . (2.6)

Нехай, наприклад, ab=a1b1. Тоді згідно (2.4) маємо a1b=ab1. З цих двох рівності виходить aa1b2=aa1b12, або b=b1 і, далі, a=a1. Якщо ж в (2.6) покласти ab1-a1b=0, тоді згідно (2.5) отримуємо a1b1=ab і знову з останніх двох рівностей витікає, що a=a1, і b=b1, тобто ABCD- похилений паралелограм.