2.4 Властивість загального перпендикуляра діагоналей похиленого паралелограма

Теорема. (Про чудову властивість косого паралелограма) Пряма, що сполучає середини його діагоналей, є віссю паралелограма.

Рисунок 2.3

Доведення:

Нехай АВСD- нахилений паралелограм, АС,BD – його діагоналі (рис 2.3). Насправді, якщо n-середіна діагоналі BD, а N1- середина діагоналі АС, то BN1=DN1 (як відповідні медіани в рівних трикутниках ABC і ADC). Тому трикутник BN1D рівнобедрений і NNBD . Аналогічним чином доводиться, що NNAC. Отже, NN1- загальний перпендикуляр для АС і BD, проходящий через середини відрізань АС і ВD. Це означає, що, точка А симетрична точці С відносно прямий NnN1, а точка В симетрична точці D відносно тієї ж прямої. Якщо прийняти пряму NN1 за вісь симетрії, то в перетворенні симетрії відносно цієї осі паралелограм ABCD перетвориться в чотирикутник CDAB, тобто переходить в себе. Отже, NN1 – вісь симетрії паралелограма.

Теорема. На загальному перпендикулярі діагоналей нахиленого паралелограма розташовані центроїд, центр описаної сфери і центр вписаної сфери тетраедра, вершинами якого служать вершини нахиленого паралелограма.

Доведення:

Якщо біля тетраедра ABCD описати сферу, то в симетрії відносно NN1, вона переходить в себе. Отже, центр описаної сфери лежить на осі симетрії. Аналогічно, на осі симетрії лежить центр сфери, вписаної в тетраедр і його центроїд.

2.5 Ознаки косого паралелограма

Теорема. (Перша ознака косого паралелограма) Для того, щоб косий чотирикутник був косим паралелограмом, необхідно і досить, щоб кожна з його діагоналей утворила із сторонами чотирикутника пару рівновеликих трикутників.

Рисунок 2.4

Доведення:

Нехай АВСD- косий паралелограм, АС,BD – його діагоналі (рис 2.4). Проведемо висоти ВВ1 і DD1 трикутників АВС і ACD. З середини N діагоналі BD опустимо на АС перпендикуляр NN1. Оскільки BN=ND, то B1N1=N1D1. Отже, BN1=N1D і тому NN BD. Таким чином, NN1-загальний перпендикуляр діагоналей АС і BD. Якщо з середини М діагоналі АС опустимо перпендикуляр ММ1 на BD, то аналогічним чином розглядаючи пару рівновеликих трикутників, доводимо, що ММ1- загальний перпендикуляр цих діагоналей. Але дві прямі, що перетинаються, мають лише один загальний перпендикуляр, тому ММ1=NN1. Іншими словами, загальний перпендикуляр проходить через середини діагоналей і служить для косого чотирикутника віссю симетрії. Це означає, що ABCD-косий паралелограм

Теорема. (Друга ознака косого паралелограма) Для того, щоб косий чотирикутник був косим паралелограмом, необхідно і досить, щоб пряма, що проходить через центр сфери, описаної біля тетраедра (вершини якого збігаються з вершинами чотирикутника), і через центр сфери, вписаної в цей тетраедр, перетинали діагоналі чотирикутника.

Доведення:

Нехай пряма, що проходить через центр J сфери, вписаної в тетраедр ABCD, пересікає діагоналі AC і BD відповідно в точках P і Q, належним відповідно відрізкам AC і BD. Доведемо, що якщо на прямій PQ лежить центр О сфери, описаною біля тетраедра ABCD, то ABCD- косий паралелограм.

Насправді, площина, прохідна через AC і Q, є бісектрисою для двогранного кута тетраєдра при ребрі AC. Отже, кожна її точка, у тому числі і О, однаково віддалена від граней АВС і ACD. Тому кола, описані біля трикутників ABC і ACD, рівні. Звідси вже витікає, що АВС= ADC або АВС+ADC=. Якщо центр О сфери лежить усередині відрізання PQ або на його продовженні за точку Q, то центри кіл, описаних біля трикутників АВС і АСD, лежать відповідно з вершинами B і D по одну сторону від АС іАВС=ADC Якщо ж центр О лежить на продовженні відрізання PQ за точку Р, то центри кіл, описаних біля трикутників АВС і ACD, знаходяться з вершинами B і D цих трикутників по різні сторони від АС і знову АВС=ADC Отже, випадок, коли АВС+ADC= відпадає. Аналогічним чином доводимо, щоBCD=BAD . Але згідно з теоремою з пункту 2.3 чотирикутник ABCD –косой паралелограм.