Розв язання:

1) Розглянемо косий чотирикутник Р12А2А3Р34 і площину А1Р14А4Р23(рис.3.3). По теоремі Менелая :

,

,

, ,

, ,

,

,

, помножимо на ₁₂,

,

(3.5)

1) Розглянемо косий чотирикутник Р14А1А2Р23 і площина А3Р34А4Р12. По теоремі Менелая :

,

, ,

,

,

. (3.6)

Зауваження: Легко видно, що для визначення U або V досить знати тільки три з ₁,₂,₃,₄ (четверте завжди знаходиться з =1).

Якщо зробити заміну(3.5) і(3.6) відповідно:

₁=, ₂=y, х;

, , ,

то будемо мати:

U= , V= .

Задача 10

Для будь-яких косих паралелограмів, сторони яких попарно паралельні, стосунки відповідних сторін рівні .

Доведення:

Нехай А₁А₂А₃А₄, В₁В₂В₃В₄- косі паралелограми, задовольняють умові завдання. ↑↑ .

Для В₁В₂В₃В₄

.

З означення косого паралелограма слідує, що . Поділив на маємо

, .

Для А₁А₂А₃А₄

.

Маємо, що в силу єдиності розкладання вектору по базису.

Отже .

Висновки

У кваліфікаційній роботі, на основі проведеного аналізу теоретичного і практичного матеріалу по темі "Метричні властивості косого чотирикутника", в трьох розділах викладений з єдиної точки зору систематизований матеріал. В перших двох розділах викладений теоретичний матеріал і в третьому розділі приведені завдання з рішеннями.

Формулювання більшості завдань взяті зі збірок 3,17,20, а інші сформульовані автором. Основна частина приведених рішень і доказів завдань також належить авторові.

Мета кваліфікаційної роботи досягнута.

Матеріали кваліфікаційної роботи можуть бути використані як со-ставна частина факультативного курсу по геометрії для учнів 10-11 класів, а також як спецкурс для студентів математичних спеціальностей

Перелік посилань

1. Автономова М.И., Аргунов Р.П. Основні поняття і методи шкільного курсу геометрии.-М. Просвіта, 1988.-254 с.

2. Анпилогов А.Н. Від числа до інтеграла. -Запоріжжя: Видавництво ЗГУ, 1990.-218 с.

3. Булатова Н.Н. Збірка завдань по геометрії Ч.2. Стереометрія. -Воронеж: Видавництво ВГПИ, 1975.-276 с.

4. Васильєв Н.Б. Гухенмахер В.Л. Прямі і криві - М.: Наука, 1978.-208 с.

5. Васильєва В.А. Методичні рекомендації і вказівки по геометрії.-М.: Просвіта, 1979.-206 с.

6. Гільберт Д., Кон-Фоссен С. Наочна геометрія.-М.: Наука.1981.-344 с.

7. Готман Э.Г. Пряма Ейлера //Квант.- 1975.- №2.

8. Зетель С.И. Нова геометрія трикутника. -М.: Учпедгиз, 1962.-126 с.

9. Кордемский Б.А., Аходов А.А. Дивовижний світ чисел. -М.: Просвіта, 1986.-120 с.

10. Кострикин Н.П. Завдання підвищеної складності в курсі алгебри. -М.: Просвіта, 1991.-180 с.

11. Кушнир И.А. Деякі властивості трикутника і їх використання при вирішенні завдань //Математика в школе.- 1971.- №3.

12. Кушнир И.А. Ортоцентрический трикутник і доказ його мінімальної властивості //Математика в школе.-1974. №3.

13. Литвиненко Т.И. Практикум за рішенням завдань шкільної математике.-М.: Наука, 1992.- 156 с.

14. Лоповок Л.М. Факультативні заняття з геометрії 7-11кл. -К.: Радянська школа, 1990.-96 с.

15. Методика викладання математики в середній школі: Приватна методика: Навчальний посібник для студентів пед. ін-тів з фіз.-мат. спец./ А.Я.Бліх, В.А.Гусєв, Г.В.Дорофєєв та ін.; Сост. В.И.Мишин.-М: Просвіта, 1987.-416 с.

16. Минскин Е.М. Від гри до знань. -М.: Просвіта, 1992.-162 с.

17. Прасолов В.В. Завдання по стереометрії. Ч.2 -М.: Наука, 1991.-320 с.

18. Програма по математиці для V - XI класів середньої загальноосвітньої школи // Математика в школе.-1989-№6.

19. Система тренувальних завдань вправ по математиці / А.Я.Симонов, Д.С.Бакиев, А.Г.Эпельман і Др.-М.: Просвіта, 1991.-208 с.

20. Скопець З.А., Понарин Я.П. Геометрія тетраедра і його елементів. -Ярославль: Видавництво ГПИ, 1974.-239 с.

21.Сучасні проблеми методики викладання математики : Сб. статей. Навчань. посібник для студентів мат. і фіз.- мат. спец. пед. ін-тів / Сост. Н.С.Атонов, В.А.Гусев.-М.: Просвіта, 1985.-304 с.

22. Суконин Л.Н. Математичні завдання підвищеної трудності. -К.: Радянська школа, 1985.-284 с.

23. Тесленко Т.В. Методика викладання планіметрии.-К.: Вища школа, 1986 .-164 с.

24. Хованский А.Н. Аналітична геометрія трикутника. Вчені записки Марійського пед-та. Йошкар-Ола, /Т.26, 1965.

25. Шаригин И.Ф., Голубєв В. И. Факультативний курс по математиці: Рішення завдань : Навч. посібник для 11 класів середньої школи.-М.: Просвіта, 1991.-384 с.