2. Определение порядка фильтра
На основе АЧХ фильтров Чебышева и Баттерворта различных порядков, можно сделать однозначный вывод о том, что, чем выше порядок, тем лучше АЧХ фильтра. Однако на практике более высокий порядок усложняет схемную реализацию и, следовательно, повышает стоимость. Поэтому для разработчика представляет интерес выбор фильтра минимального порядка, удовлетворяющего заданным условиям.
Рассмотрим как это реализуется на практике. Предположим, что в характеристике заданы: максимально допустимое затухание в полосе пропускания α1 (Дб), минимально допустимое затухание в полосе задержания α2 (Дб), частота среза ωс (рад/с) и максимально допустимая ширина переходной области TW, которая определяется как:
,
(следовательно, полоса задержания должна начинаться с некоторой частоты ω2 ≤ ω1)
Задача состоит в поиске минимального порядка n, удовлетворяющего заданным условиям.
Запишем передаточную функцию фильтра Баттерворта:
(n=
1,
2,3…) (2.1)
Решив это уравнение относительно n, получим интересующее нас выражение для определения порядка:
(2.2)
Где логарифмы могут быть как натуральными, так и десятичными.
Подобным же образом найдем порядок фильтра Чебышева для K=1. Передаточная функция:
(n=
1,
2,3…) (2.3)
где
является полиномом Чебышева степени
n.
Разрешим относительно n:
(2.4)
При получении нецелого n, в качестве порядка стоит взять ближайшее к n и большее его целое.
Стоит, также, отметить, что при одних и тех же условиях минимальный порядок фильтров Чебышева будет примерно в 2 раза меньше аналогичного фильтра Баттерворта, что является несомненным преимуществом первых, особенно в тех случаях, когда ФЧХ не особо важна.
3. Определение коэффициентов
Если порядок n>2, то имеет смысл представить схемную реализацию фильтра в виде каскадно-соединенных звеньев:
Рис.3.1. Каскадное соединение звеньев.
Если эти звенья не влияют друг на друга и не изменяют собственные передаточные функции, то общая схема обладает требуемой передаточной функцией n-порядка. Её можно представить в виде произведения функций звеньев второго порядка, если n – четно, или же использовать в качестве сомножителя одну функцию первого порядка в противном случае. Для функций Баттерворта, Чебышева и Бесселя функция звена второго порядка определяется следующим образом:
(3.1)
Для инверсных Чебышева и эллиптических функция звена этого порядка имеет вид:
(3.2)
Функция звена первого порядка фильтров типа Чебышева, инверсного Чебышева, Баттерворта, Бесселя и эллиптического задается в виде:
(3.3)
В каждом случае коэффициент К представляет собой усиление звена, а ωс – частота среза, за исключением фильтра Бесселя, где на частоте ωс время замедления равно приблизительно 1/ωс (с).
Для нормированного фильтра (ωс=1) коэффициенты A, B и С приведены в строках таблиц приложений А, Б и В книги «Справочник по активным фильтрам» Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур. Г.
4. Построение ачх и фчх отдельных звеньев и всего фильтра по найденным коэффициентам
Т.к. гораздо удобнее работать в комплексной плоскости, АЧХ и ФЧХ фильтров будем строить именно там. Для этого нужно задать оператор перехода из частотной области в комплексную:
После определения коэффициентов всех звеньев можно задать для каждого звена его передаточную функцию и вывести её на экран при помощи какого-либо математического пакета. Удобно, к примеру, воспользоваться системой Mathcad. Там же, при помощи встроенной функции arg() строится и фазо-частотная характеристка.
Передаточная же функция всего фильтра, как было объявлено ранее, определяется просто как произведение передаточных функций звеньев.
На этом же этапе проверяется правомерность выбранных коэффициентов сравнением начальных данных с полученной частотной характеристикой.