6.2. Сравнение двух средних.

Расчет средневзвешенного значения.

Для сравнения между собой двух средних, полученных по выборкам из нормально распределенных генеральных совокупностей, применяется критерий Стъюдента.

Пусть заданы две случайные выборки объемами n₁ и n₂. Первая выборка взята из нормально распределенной совокупности с параметрами m_x и _x², вторая — из совокупности с параметрами m_y и _y². По выборкам получены оценки для этих параметров: , и , . Требуется проверить нулевую гипотезу: m_x = m_y при условии _x² = _y² = = ². Однородность дисперсий и проверяется по критерию Фишера. Рассмотрим случайную величину

. (6.12)

По свойству линейности (уравнения 2.37 – 2.38) величина z распределена нормально с параметрами

, (6.13)

. (6.14)

Составим нормированную случайную величину

. (6.15)

При замене генерального стандарта выборочным получается величина, имеющая распределение Стъюдента:

, (6.16)

с числом степеней свободы f = n₁ + n₂ – 2. В качестве выборочного стандарта используется ошибка опыта, равная

. (6.17)

При доверительной вероятности  = 1 – р получаем двустороннюю оценку для разности (m_x - m_y)

(6.18)

или односторонние оценки

, (6.19)

. (6.20)

В условиях нулевой гипотезы m_x = m_y и неравенства (6.18) – (6.20) дают критерий проверки этой гипотезы. Нулевая гипотеза отвергается при двустороннем критерии, если

, (6.21)

и при одностороннем критерии, если

. (6.22)

В том случае если выборочные средние являются оценками одного и того же математического ожидания и выборочные дисперсии однородны, то полученные выборки можно объединить в одну серию и рассчитать для нее общие среднее и дисперсию.

Приведенными критериями нельзя пользоваться, если выборочные дисперсии неоднородны (т. е.     ). Для этого случая существует несколько приближенных критериев для сравнения двух средних. При n₁ = n₂ = n можно воспользоваться приближенным t-критерием:

(6.23)

с числом степеней свободы , где .

Если число степеней свободы дисперсии равно f₁ = n₁ – 1, дисперсии — f₂ = n₂ – 1, можно использовать другой приближенный критерий. Вычислим величину

, (6.24)

где и . Нулевая гипотеза отвергается, если

.

Сформулированный критерий является двусторонним, он превращается в односторонний при замене р/2 на р.

При сравнении нескольких средних можно использовать t-крите-рий, проводя сравнение попарно. Если выборочные средние оценивают одно и то же математическое ожидание, то в качестве единственной наилучшей оценки обычно используется средневзвешенное значение. Пусть независимым образом получено k оценок ( j = 1, 2,…, k) некоторой величины Х:

. (6.25)

Определим вес результата, полученного в каждой серии опытов:

. (6.26)

Тогда средневзвешенное значение (наилучшая оценка для Х) равно

, (6.27)

а его погрешность определяется формулой

. (6.28)

6.3. Проверка однородности результатов измерений.

Грубые измерения являются результатом поломки прибора или недосмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую ошибку, сильно отличается по величине. На этом основаны статистические критерии оценки и исключения грубых измерений. Наличие грубой ошибки в выборке нарушает характер распределения случайной величины, изменяет его параметры, т.е. нарушается однородность наблюдений. Следовательно, выявление грубых ошибок можно трактовать как проверку однородности наблюдений, т. е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки получены из одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеется выборка х₁, х₂, …, х_n значений нормально распределенной случайной величины Х. Обозначим через х_max (х_min) наибольший (наименьший) результат измерений. Величины

, (6.29)

(6.30)

имеют специальное распределение, зависящее только от числа степеней свободы f = n – 2. В приложении 7 приведены значения  () для р = 0,10; 0,05; 0,025 и 0,01 при числе степеней свободы от 1 до 23. Величина х_max (х_min) исключается из выборки как грубое измерение (на уровне значимости р), если определенное по формулам (6.29) и (6.30) значение  или  окажется больше табличного.

Если сомнение вызывают два или три элемента выборки, поступают следующим образом. Для всех сомнительных элементов вычисляют  (), и исследование начинается с элемента, имеющего наименьшее значение  (). Остальные сомнительные элементы из выборки исключаются. Для этой уменьшенной выборки вычисляют , s и новое значение  () для исследуемого элемента. Если исследуемый элемент является грубым измерением, еще с большим основанием можно считать грубыми ранее исключенные элементы. Если исследуемый элемент не является грубым измерением, его присоединяют к выборке и начинают исследовать следующий по величине  () элемент выборки, при этом снова вычисляя новые значения , s, и т.д.