Квантили распределения Стъюдента .
Число степеней свободы f |
Уровни значимости р |
||||||
0.20 |
0.10 |
0.05 |
0.02 |
0.01 |
0.005 |
0.001 |
|
1 |
3.08 |
6.31 |
12.71 |
31.82 |
63.66 |
127.32 |
636.32 |
2 |
1.89 |
2.92 |
4.30 |
6.97 |
9.93 |
14.09 |
31.60 |
3 |
1.64 |
2.35 |
3.18 |
4.54 |
5.84 |
7.45 |
12.94 |
4 |
1.53 |
2.13 |
2.78 |
3.75 |
4.60 |
5.60 |
8.61 |
5 |
1.48 |
2.02 |
2.57 |
3.37 |
4.03 |
4.77 |
6.86 |
6 |
1.44 |
1.94 |
2.45 |
3.14 |
3.71 |
4.32 |
5.96 |
7 |
1.42 |
1.90 |
2.37 |
3.00 |
3.50 |
4.03 |
5.41 |
8 |
1.40 |
1.86 |
2.31 |
2.90 |
3.36 |
3.83 |
5.04 |
9 |
1.38 |
1.83 |
2.26 |
2.82 |
3.25 |
3.69 |
4.78 |
10 |
1.37 |
1.81 |
2.23 |
2.76 |
3.17 |
3.58 |
4.59 |
11 |
1.36 |
1.80 |
2.20 |
2.72 |
3.11 |
3.50 |
4.44 |
12 |
1.36 |
1.78 |
2.18 |
2.68 |
3.06 |
3.43 |
4.32 |
13 |
1.35 |
1.77 |
2.16 |
2.65 |
3.01 |
3.37 |
4.22 |
14 |
1.34 |
1.76 |
2.15 |
2.62 |
2.98 |
3.33 |
4.14 |
15 |
1.34 |
1.75 |
2.13 |
2.60 |
2.95 |
3.29 |
4.07 |
16 |
1.34 |
1.75 |
2.12 |
2.58 |
2.92 |
3.25 |
4.02 |
17 |
1.33 |
1.74 |
2.11 |
2.57 |
2.90 |
3.22 |
3.97 |
18 |
1.33 |
1.73 |
2.10 |
2.55 |
2.88 |
3.20 |
3.92 |
19 |
1.33 |
1.73 |
2.09 |
2.54 |
2.86 |
3.17 |
3.88 |
20 |
1.33 |
1.73 |
2.09 |
2.53 |
2.85 |
3.15 |
3.85 |
22 |
1.32 |
1.72 |
2.07 |
2.51 |
2.82 |
3.12 |
3.79 |
24 |
1.32 |
1.71 |
2.06 |
2.49 |
2.80 |
3.09 |
3.75 |
26 |
1.32 |
1.71 |
2.06 |
2.48 |
2.78 |
3.07 |
3.71 |
28 |
1.31 |
1.70 |
2.05 |
2.47 |
2.76 |
3.05 |
3.67 |
30 |
1.31 |
1.70 |
2.04 |
2.46 |
2.75 |
3.03 |
3.65 |
40 |
1.30 |
1.68 |
2.02 |
2.42 |
2.70 |
2.97 |
3.55 |
60 |
1.30 |
1.67 |
2.00 |
2.39 |
2.66 |
2.91 |
3.46 |
120 |
1.29 |
1.66 |
1.98 |
2.36 |
2.62 |
2.86 |
3.37 |
|
1.28 |
1.64 |
1.96 |
2.33 |
2.58 |
2.81 |
3.29 |
Приложение 4
Квантили
распределения Пирсона
.
Число степеней свободы f |
Уровни значимости р |
|||||||
0.99 |
0.98 |
0.95 |
0.90 |
0.80 |
0.70 |
0.50 |
0.30 |
|
1 |
0.00016 |
0.0006 |
0.0039 |
0.016 |
0.064 |
0.148 |
0.455 |
1.07 |
2 |
0.020 |
0.040 |
0.103 |
0.211 |
0.446 |
0.713 |
1.386 |
2.41 |
3 |
0.115 |
0.185 |
0.352 |
0.584 |
1.005 |
1.424 |
2.336 |
3.66 |
4 |
0.30 |
0.43 |
0.71 |
1.06 |
1.65 |
2.19 |
3.36 |
4.9 |
5 |
0.55 |
0.75 |
1.14 |
1.61 |
2.34 |
3.00 |
4.35 |
6.1 |
6 |
0.87 |
1.13 |
1.63 |
2.2 |
3.07 |
3.83 |
5.35 |
7.2 |
7 |
1.24 |
1.56 |
2.17 |
2.83 |
3.82 |
4.67 |
6.35 |
8.4 |
8 |
1.65 |
2.03 |
2.73 |
3.49 |
4.59 |
5.53 |
7.34 |
9.5 |
9 |
2.09 |
2.53 |
3.32 |
4.17 |
5.38 |
6.39 |
8.34 |
10.7 |
10 |
2.56 |
3.06 |
3.94 |
4.86 |
6.18 |
7.27 |
9.34 |
11.8 |
11 |
3.1 |
3.6 |
4.6 |
5.6 |
7.0 |
8.1 |
10.3 |
12.9 |
12 |
3.6 |
4.2 |
5.2 |
6.3 |
7.8 |
9.0 |
11.3 |
14.0 |
13 |
4.1 |
4.8 |
5.9 |
7.0 |
8.6 |
9.9 |
12.3 |
15.1 |
14 |
4.7 |
5.4 |
6.6 |
7.8 |
9.5 |
10.8 |
13.3 |
16.2 |
15 |
5.2 |
6.0 |
7.3 |
8.5 |
10.3 |
11.7 |
14.3 |
17.3 |
16 |
5.8 |
6.6 |
8.0 |
9.3 |
11.2 |
12.6 |
15.3 |
18.4 |
17 |
6.4 |
7.3 |
8.7 |
10.1 |
12.0 |
13.5 |
16.3 |
19.5 |
18 |
7.0 |
7.9 |
9.4 |
10.9 |
12.9 |
14.4 |
17.3 |
20.6 |
19 |
7.6 |
8.6 |
10.1 |
11.7 |
13.7 |
15.4 |
18.3 |
21.7 |
20 |
8.3 |
9.2 |
10.9 |
12.4 |
14.6 |
16.3 |
19.3 |
22.8 |
21 |
8.9 |
9.9 |
11.6 |
13.2 |
15.4 |
17.2 |
20.3 |
23.9 |
22 |
9.5 |
10.6 |
12.3 |
14.0 |
16.3 |
18.1 |
21.3 |
24.9 |
23 |
10.2 |
11.3 |
13.1 |
14.8 |
17.2 |
19.0 |
22.3 |
26.0 |
24 |
10.9 |
12.0 |
13.8 |
15.7 |
18.1 |
19.9 |
23.3 |
27.1 |
25 |
11.5 |
12.7 |
14.6 |
16.5 |
18.9 |
20.9 |
24.3 |
28.2 |
26 |
12.2 |
13.4 |
15.4 |
17.3 |
19.8 |
21.8 |
25.3 |
29.3 |
27 |
12.9 |
14.1 |
16.2 |
18.1 |
20.7 |
22.7 |
26.3 |
30.3 |
28 |
13.6 |
14.8 |
16.9 |
18.9 |
21.6 |
23.6 |
27.3 |
31.4 |
29 |
14.3 |
15.6 |
17.7 |
19.8 |
22.4 |
24.6 |
28.3 |
32.5 |
30 |
15.0 |
16.3 |
18.5 |
20.6 |
23.4 |
25.5 |
29.3 |
33.5 |
Продолжение приложения 4
Число степеней свободы f |
Уровни значимости р |
|||||||
0.20 |
0.10 |
0.05 |
0.02 |
0.01 |
0.005 |
0.002 |
0.001 |
|
1 |
1.64 |
2.7 |
3.8 |
5.4 |
6.6 |
7.9 |
9.5 |
10.8 |
2 |
3.22 |
4.6 |
6 |
7.8 |
9.2 |
10.6 |
12.4 |
13.8 |
3 |
4.64 |
6.3 |
7.8 |
9.8 |
11.3 |
12.8 |
14.8 |
16.3 |
4 |
6.0 |
7.8 |
9.5 |
11.7 |
13.3 |
14.9 |
16.9 |
18.5 |
5 |
7.3 |
9.2 |
11.1 |
13.4 |
15.1 |
16.3 |
18.9 |
20.5 |
6 |
8.6 |
10.6 |
12.6 |
15.0 |
16.8 |
18.6 |
20.7 |
22.5 |
7 |
9.8 |
12.0 |
14.1 |
16.6 |
18.5 |
20.3 |
22.6 |
24.3 |
8 |
11.0 |
13.4 |
15.5 |
18.2 |
20.1 |
21.9 |
24.3 |
26.1 |
9 |
12.2 |
14.7 |
16.9 |
19.7 |
21.7 |
23.6 |
26.1 |
27.9 |
10 |
13.4 |
16.0 |
18.3 |
21.2 |
23.2 |
25.2 |
27.7 |
29.6 |
11 |
14.6 |
17.3 |
19.7 |
22.6 |
24.7 |
26.8 |
29.4 |
31.3 |
12 |
15.8 |
18.5 |
21.0 |
24.1 |
26.2 |
28.3 |
31 |
32.9 |
13 |
17.0 |
19.8 |
22.4 |
25.5 |
27.7 |
29.8 |
32.5 |
34.5 |
14 |
18.2 |
21.1 |
23.7 |
26.9 |
29.1 |
31.3 |
34 |
36.1 |
15 |
19.3 |
22.3 |
25.0 |
28.3 |
30.6 |
32.8 |
35.5 |
37.7 |
16 |
20.5 |
23.5 |
26.3 |
29.6 |
32.0 |
34.3 |
37 |
39.2 |
17 |
21.6 |
24.8 |
27.6 |
31.0 |
33.4 |
35.7 |
38.5 |
40.8 |
18 |
22.8 |
26.0 |
28.9 |
32.3 |
34.8 |
37.2 |
40 |
42.3 |
19 |
23.9 |
27.2 |
30.1 |
33.7 |
36.2 |
38.6 |
41.5 |
43.8 |
20 |
25.0 |
28.4 |
31.4 |
35.0 |
37.6 |
40.0 |
43 |
45.3 |
21 |
26.2 |
29.6 |
32.7 |
36.3 |
38.9 |
41.4 |
44.5 |
46.8 |
22 |
27.3 |
30.8 |
33.9 |
37.7 |
40.3 |
42.8 |
46 |
48.3 |
23 |
28.4 |
32.0 |
35.2 |
39.0 |
41.6 |
44.2 |
47.5 |
49.7 |
24 |
29.6 |
33.2 |
36.4 |
40.3 |
43.0 |
45.6 |
48.5 |
51.2 |
25 |
30.7 |
34.4 |
37.7 |
41.6 |
44.3 |
46.9 |
50 |
52.6 |
26 |
31.8 |
35.6 |
38.9 |
42.9 |
45.6 |
48.3 |
61.5 |
54.1 |
27 |
32.9 |
36.7 |
40.1 |
44.1 |
47.0 |
49.6 |
53 |
55.5 |
28 |
34.0 |
37.9 |
41.3 |
45.4 |
48.3 |
51.0 |
54.5 |
56.9 |
29 |
35.1 |
39.1 |
42.6 |
46.7 |
49.6 |
52.3 |
56 |
58.3 |
30 |
36.3 |
40.3 |
43.8 |
48.0 |
50.9 |
53.7 |
57.5 |
59.7 |
Приложение 5
Квантили
распределения Фишера
для р
= 0.05.
f2 |
f1 |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
12 |
24 |
|
|
1 |
164.4 |
199.5 |
215.7 |
224.6 |
230.2 |
234.0 |
244.9 |
249 |
254.3 |
2 |
18.5 |
19.2 |
19.2 |
19.3 |
19.3 |
19.3 |
19.4 |
19.5 |
19.5 |
3 |
10.1 |
9.6 |
9.3 |
9.1 |
9.0 |
8.9 |
8.7 |
8.6 |
8.5 |
4 |
7.7 |
6.9 |
6.6 |
6.4 |
6.3 |
6.2 |
5.9 |
5.8 |
5.6 |
5 |
6.6 |
5.8 |
5.4 |
5.2 |
5.1 |
5.0 |
4.7 |
4.5 |
4.4 |
6 |
6.0 |
5.1 |
4.8 |
4.5 |
4.4 |
4.3 |
4.0 |
3.8 |
3.7 |
7 |
5.6 |
4.7 |
4.4 |
4.1 |
4.0 |
3.9 |
3.6 |
3.4 |
3.2 |
8 |
5.3 |
4.5 |
4.1 |
3.8 |
3.7 |
3.6 |
3.3 |
3.1 |
2.9 |
9 |
5.1 |
4.3 |
3.9 |
3.6 |
3.5 |
3.4 |
3.1 |
2.9 |
2.7 |
10 |
5.0 |
4.1 |
3.7 |
3.5 |
3.3 |
3.2 |
2.9 |
2.7 |
2.5 |
11 |
4.8 |
4.0 |
3.6 |
3.4 |
3.2 |
3.1 |
2.8 |
2.6 |
2.4 |
12 |
4.8 |
3.9 |
3.5 |
3.3 |
3.1 |
3.0 |
2.7 |
2.5 |
2.3 |
13 |
4.7 |
3.8 |
3.4 |
3.2 |
3.0 |
2.9 |
2.6 |
2.4 |
2.2 |
14 |
4.6 |
3.7 |
3.3 |
3.1 |
3.0 |
2.9 |
2.5 |
2.3 |
2.1 |
15 |
4.5 |
3.7 |
3.3 |
3.1 |
2.9 |
2.8 |
2.5 |
2.3 |
2.1 |
16 |
4.5 |
3.6 |
3.2 |
3.0 |
2.9 |
2.7 |
2.4 |
2.2 |
2.0 |
17 |
4.5 |
3.6 |
3.2 |
3.0 |
2.8 |
2.7 |
2.4 |
2.2 |
2.0 |
18 |
4.4 |
3.6 |
3.2 |
2.9 |
2.8 |
2.7 |
2.3 |
2.1 |
1.9 |
19 |
4.4 |
3.5 |
3.1 |
2.9 |
2.7 |
2.6 |
2.3 |
2.1 |
1.8 |
20 |
4.4 |
3.5 |
3.1 |
2.9 |
2.7 |
2.6 |
2.3 |
2.1 |
1.8 |
22 |
4.3 |
3.4 |
3.1 |
2.8 |
2.7 |
2.6 |
2.2 |
2.0 |
1.8 |
24 |
4.3 |
3.4 |
3.0 |
2.8 |
2.6 |
2.5 |
2.2 |
2.0 |
1.7 |
26 |
4.2 |
3.4 |
3.0 |
2.7 |
2.6 |
2.4 |
2.1 |
1.9 |
1.7 |
28 |
4.2 |
3.3 |
2.9 |
2.7 |
2.6 |
2.4 |
2.1 |
1.9 |
1.6 |
30 |
4.2 |
3.3 |
2.9 |
2.7 |
2.5 |
2.4 |
2.1 |
1.9 |
1.6 |
40 |
4.1 |
3.2 |
2.9 |
2.6 |
2.5 |
2.3 |
2.0 |
1.8 |
1.5 |
60 |
4.0 |
3.2 |
2.8 |
2.5 |
2.4 |
2.3 |
1.9 |
1.7 |
1.4 |
120 |
3.9 |
3.1 |
2.7 |
2.5 |
2.3 |
2.2 |
1.8 |
1.6 |
1.3 |
|
3.8 |
3.0 |
2.6 |
2.4 |
2.2 |
2.1 |
1.8 |
1.5 |
1.0 |
Приложение 6
Квантили
распределения Кохрена
*
для р
= 0.05.
k |
f |
||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8 |
10 |
16 |
36 |
|
|
2 |
9985 |
9750 |
9392 |
9057 |
8772 |
8534 |
8159 |
7880 |
7341 |
6602 |
5000 |
3 |
9669 |
8709 |
7977 |
7454 |
7071 |
6771 |
6333 |
6025 |
5466 |
4748 |
3333 |
4 |
9065 |
7679 |
6841 |
6287 |
5895 |
5598 |
5175 |
4884 |
4366 |
3720 |
2500 |
5 |
8412 |
6838 |
5981 |
5441 |
5065 |
4783 |
4387 |
4118 |
3645 |
3066 |
2000 |
6 |
7808 |
6161 |
5321 |
4803 |
4447 |
4184 |
3817 |
3568 |
3135 |
2612 |
1667 |
7 |
7271 |
5612 |
4800 |
4307 |
3974 |
3726 |
3384 |
3154 |
2756 |
2278 |
1429 |
8 |
6798 |
5157 |
4377 |
3910 |
3595 |
3362 |
3043 |
2829 |
2462 |
2022 |
1250 |
9 |
6385 |
4775 |
4027 |
3584 |
3286 |
3067 |
2768 |
2568 |
2226 |
1820 |
1111 |
10 |
6020 |
4450 |
3733 |
3311 |
3029 |
2823 |
2541 |
2353 |
2032 |
1655 |
1000 |
12 |
5410 |
3924 |
3264 |
2880 |
2624 |
2439 |
2187 |
2020 |
1737 |
1403 |
0833 |
15 |
4709 |
3346 |
2758 |
2419 |
2195 |
2034 |
1815 |
1671 |
1429 |
1144 |
0667 |
20 |
3894 |
2705 |
2205 |
1921 |
1735 |
1602 |
1422 |
1303 |
1108 |
0879 |
0500 |
24 |
3434 |
2354 |
1907 |
1656 |
1493 |
1374 |
1216 |
1113 |
0942 |
0743 |
0417 |
30 |
2929 |
1980 |
1593 |
1377 |
1237 |
1137 |
1001 |
0921 |
0771 |
0604 |
0333 |
40 |
2370 |
1576 |
1259 |
1082 |
0968 |
0887 |
0780 |
0713 |
0595 |
0462 |
0250 |
60 |
1737 |
1131 |
0895 |
0765 |
0682 |
0623 |
0552 |
0497 |
0411 |
0316 |
0167 |
120 |
0998 |
0632 |
0495 |
0419 |
0371 |
0337 |
0292 |
0266 |
0218 |
0165 |
0083 |
|
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
0000 |
* Все квантили G1-p меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь десятичные знаки, следующие после запятой, перед которой при пользовании таблицей нужно ставить ноль целых. Например, при n = 6, f = 3 имеем G0.95 = 0.5321.
Приложение 7
Значения () для различных уровней значимости.
Число степеней свободы f |
Уровни значимости р |
|
Число степеней свободы f |
Уровни значимости р |
||||
0.10 |
0.05 |
0.01 |
|
0.10 |
0.05 |
0.01 |
||
1 |
1.406 |
1.412 |
1.414 |
|
12 |
2.297 |
2.461 |
2.759 |
2 |
1.645 |
1.689 |
1.723 |
|
13 |
2.326 |
2.493 |
2.800 |
3 |
1.791 |
1.869 |
1.955 |
|
14 |
2.354 |
2.523 |
2.837 |
4 |
1.894 |
1.996 |
2.130 |
|
15 |
2.380 |
2.551 |
2.871 |
5 |
1.974 |
2.093 |
2.265 |
|
16 |
2.404 |
2.577 |
2.903 |
6 |
2.041 |
2.172 |
2.374 |
|
17 |
2.426 |
2.600 |
2.932 |
7 |
2.097 |
2.237 |
2.464 |
|
18 |
2.447 |
2.623 |
2.959 |
8 |
2.146 |
2.294 |
2.540 |
|
19 |
2.467 |
2.644 |
2.984 |
9 |
2.190 |
2.343 |
2.606 |
|
20 |
2.486 |
2.664 |
3.008 |
10 |
2.229 |
2.387 |
2.663 |
|
21 |
2.504 |
2.683 |
3.030 |
11 |
2.264 |
2.426 |
2.714 |
|
22 |
2.520 |
2.701 |
3.051 |
Приложение 8
Квантили распределения Колмогорова.
p |
1-р |
|
p |
1-р |
|
p |
1-р |
0.99 |
0.44 |
|
0.50 |
0.83 |
|
0.15 |
1.14 |
0.90 |
0.57 |
|
0.40 |
0.89 |
|
0.10 |
1.22 |
0.80 |
0.64 |
|
0.30 |
0.97 |
|
0.05 |
1.36 |
0.70 |
0.71 |
|
0.25 |
1.02 |
|
0.02 |
1.52 |
0.60 |
0.77 |
|
0.20 |
1.07 |
|
0.01 |
1.63 |
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………….. |
5 |
ЛЕКЦИЯ 1 ………………………………………………………… |
7 |
1.1. Случайные величины. Классификация ошибок измерений. Абсолютная и относительная погрешность. ………….. |
7 |
1.2. Оценка погрешностей функций приближенных аргументов. ………………………………………………………… |
10 |
1.3. Распределение случайных величин. Функция распределения и плотность распределения случайной величины. .. |
13 |
ЛЕКЦИЯ 2 ………………………………………………………… |
16 |
2.1. Числовые характеристики случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии. Нормированная случайная величина. …………………………………. |
16 |
2.2. Нормальное и стандартное распределения случайной величины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении. ………………………………………………………….. |
20 |
ЛЕКЦИЯ 3 ………………………………………………………… |
24 |
3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочная функция распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генерального распределения. ……... |
24 |
3.2. Метод максимального правдоподобия. ………………… |
27 |
3.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсия среднего серии измерений. …………………………………... |
29 |
ЛЕКЦИЯ 4 ………………………………………………………… |
33 |
4.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости. ………………………………….. |
33 |
4.2. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и второго рода. ……………………….. |
35 |
4.3. Построение доверительного интервала для математического ожидания непосредственно измеряемой величины. Распределение Стъюдента. …………………………………... |
38 |
ЛЕКЦИЯ 5 ………………………………………………………… |
41 |
5.1. Оценка случайной и суммарной ошибки косвенных измерений. …………………………………………………….. |
41 |
|
|
5.2. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины. ………………………………………………… |
44 |
5.3. Сравнение двух дисперсий. Распределение Фишера. …. |
46 |
ЛЕКЦИЯ 6 ………………………………………………………… |
49 |
6.1. Определение дисперсии по текущим измерениям. Сравнение нескольких дисперсий. ………………………….. |
49 |
6.2. Сравнение двух средних. Расчет средневзвешенного значения. ……………………………………………………… |
52 |
6.3. Проверка однородности результатов измерений. …….. |
54 |
6.4. Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова. ……………………………………………. |
55 |
ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………………………... |
58 |
Приложение 1 ………………………………………………… |
58 |
Приложение 2 ………………………………………………… |
60 |
Приложение 3 ………………………………………………… |
61 |
Приложение 4 ………………………………………………… |
62 |
Приложение 5 ………………………………………………… |
64 |
Приложение 6 ………………………………………………… |
65 |
Приложение 7 ………………………………………………… |
66 |
Приложение 8 ………………………………………………… |
66 |