4.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости.

Выборочные параметры распределения, определяемые по серии измерений, являются случайными величинами, следовательно, и их отклонения от генеральных параметров также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — при статистическом анализе можно лишь указать вероятность той или иной погрешности.

Пусть для генерального параметра а получена из опыта несмещенная оценка а^*. Назначим достаточно большую вероятность  (такую, что событие с вероятностью  можно считать практически достоверным) и найдем такое значение _ = f (), для которого

. (4.1)

Диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а^*, будет _. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

, (4.2)

называемой уровнем значимости. Иначе выражение (4.1) можно интерпретировать как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пределах

. (4.3)

Вероятность  называется доверительной вероятностью и характеризует надежность полученной оценки. Интервал I_ = a^*  _ называется доверительным интервалом. Границы интервала a = a^* - _ и a = a^* + _ называются доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала: чем больше величина , тем больше интервал I_ (и величина _). Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышении доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала.

На практике обычно фиксируют значение доверительной вероятности (0,9; 0,95 или 0,99) и затем определяют доверительный интервал результата I_. При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении:

. (4.4)

Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки а^*, задача определения доверительного интервала решалась бы просто. Рассмотрим построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х с известным генеральным стандартом  по выборке объемом n. Наилучшей оценкой для математического ожидания m является среднее выборки со стандартным отклонением среднего

.

Используя функцию Лапласа, получаем

. (4.5)

Задавшись доверительной вероятностью , определим по таблице функции Лапласа (приложение 1) величину . Тогда доверительный интервал для математического ожидания принимает вид

, (4.6)

или

. (4.7)

Из (4.7) видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально корню квадратному из числа опытов.

Знание генеральной дисперсии позволяет оценивать математическое ожидание даже по одному наблюдению. Если для нормально распределенной случайной величины Х в результате эксперимента получено значение х₁, то доверительный интервал для математического ожидания при выбранной  имеет вид

, (4.8)

где U_1-p/2 — квантиль стандартного нормального распределения (приложение 2).

Закон распределения оценки а^* зависит от закона распределения величины Х и, в частности, от самого параметра а. Чтобы обойти это затруднение, в математической статистике применяют два метода:

1. приближенный — при n  50 заменяют в выражении для _ неизвестные параметры их оценками, например:

;

2. от случайной величины а^* переходят к другой случайной величине ^*, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит только от объема выборки n и от вида закона распределения величины Х. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального распределения случайных величин. В качестве доверительных границ  и  обычно используются симметричные квантили

, (4.9)

или с учетом (4.2)

. (4.10)