2. Классификация событий. Действия над событиями.

Опытом или испытанием называют всякое осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием. Случайным называется событие А, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти. Достоверным называется событие , которое обязательно произойдет в этом опыте. Событие  называется невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте произойти не может. Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого в этом опыте, и несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают буквой . Например, если А – «попадание», то - «промах» при одном выстреле в мишень. Множество событий А₁, А₂, …, А_n называют полной группой, если они попарно несовместны, а появление одного (и только одного) из них является достоверным событием. Например, полную группу образуют события А₁, А₂, …, A₆, где A_k (k = 1, 2, ..., 6) - событие «верхней оказалась грань с цифрой k» при подбрасывании игрального кубика.

Суммой или объединением двух событий называется событие, состоящее в появ­лении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается через или .

Произведением или пересечением двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через или .

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается или .

Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то говорят, что А влечет за собой В, или А является частным случаем В, и обозначается так: . Если и , то говорят, что А и В равносильны: .

Задачи.

16.12. События А, В и С означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений, каждое из которых содержит по крайней мере 3 тома. События A_s и B_k означают, соответственно, что из первого собрания сочинений взяты s, а из второго – k томов. Что означают события

а) ; б) ; в) ; г) ?

16.13. Событие А - хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В – бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и ?

Доказать тождества:

16.14. .

16.15. .

16.16. .

16.17. Доказать .

16.18. Доказать, что события образуют полную группу.

16.19. Найти случайное событие Х из равенства .

3. Определения вероятности.

Классическое определение вероятности.

События считают равновероятными (или равновозможными), если нет оснований полагать, что какое-либо событие имеет больший шанс появления. Вероятность события А определяется формулой:

,

где п - число равновероятных событий, образующих полную группу элементарных исходов ={₁,…,_n} для данного опыта, т - число тех элементарных исходов {_k_kA}, которые благоприятствуют событию А. Множество  равновероятных исходов опыта, образующих полную группу, называют пространством элементарных событий (и используют для него то же обозначение, что и для достоверного события). Свойства вероятности события:

1. вероятность достоверного события равна единице: ;

2. вероятность невозможного события равна нулю: P()=0;

3. вероятность любого события удовлетворяет неравенствам .

Аксиоматическое определение вероятности.

Число P(A), поставленное в соответствие каждому наблюдаемому в опыте событию A и удовлетворяющее аксиомам

1) ;

2. P()=1;

3. Для любой последовательности A₁,…,A_n,… попарно несовместных событий (A_iA_j= при ij):

называется вероятностью события А. В частном случае, для пространства ={₁,…,_n} с равновероятными исходами , получаем классическое определение вероятности.

Пример.

В урне имеются 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Из урны извлекают два шара. Найти вероятность события А – сумма номеров извлеченных шаров равна 5.

Решение.

Построим пространство элементарных событий  для заданного в условии испытания. Оно состоит из шести элементарных событий: , , , , , . Все перечисленные события равновозможны, поэтому

.

Далее, событие А – сумма номеров на извлекаемых из урны шарах должна быть равна 5, состоит из событий и , т.е. . Отсюда

.

Геометрическое определение вероятности. Если событие А ‑ попадание в область G точки, наудачу выбранной в области , то вероятность события A определяется формулой

,

где mes G - мера области g (длина, площадь, объем), mes  - мера области  (длина, площадь, объем).

Пример.

В круг вписан квадрат. Найти вероятность события А – точка, брошенная наудачу внутрь круга, окажется внутри квадрата.

Решение.

Пространство  - множество точек круга (радиуса R). Количественной характеристикой (мерой) пространства  является площадь круга, а количественной характеристикой бесконечного множества случаев, благоприятствующих событию А, служит площадь квадрата. Поэтому

.

Задачи.

16.20. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

16.21. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

16.22. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события, состоящего в том, что на верхних гранях кубика в сумме будет 9 очков.

16.23. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

16.24. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

16.25. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

16.26. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее – получить в сумме 7 или 8?

16.27. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру номера и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что номер набран верно.

16.28. Монета бросается три раза подряд. Какова вероятность того, что при этом, безразлично в каком порядке, выпадет два раза герб и один раз цифра?

16.29. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. На Новогодний вечер группа получила только 5 пригласительных билетов, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на вечер попадут 2 девушки и 3 юноши.

16.30. 10 книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом 3 определенные книги окажутся поставленными вместе безразлично в каком порядке.

16.31. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую, также взятую наудачу кость, можно приставить к первой.

16.32. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые будут распределены по жребию для игры в двух командах по 10 человек. Какова вероятность того, что 2 наиболее сильных участника окажутся в разных командах?

16.33. Из полной колоды (36 карт) вынимаются наугад 3 карты сразу. Найти вероятность того, что это будут : шестерка, десятка, король.

16.34. В ящике 80 годных и 20 бракованных изделий. Найти вероятность того, что среди вынутых 10 изделий; а) ровно 4 бракованных; б) нет бракованных; в) хотя бы одно бракованное.

16.35. В урне 8 белых и 10 черных шаров. Из урны один за другим вынимаются все шары. Найти вероятность того, что последний шар будет белым.

16.36. В квадрат с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) наудачу брошена точка (х, у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству .

16.37. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

16.38. Точка брошена в область, ограниченную эллипсом . Какова вероятность того, что она попадет в область, ограниченную этим эллипсом и параболой ?

16.39. На отрезок единичной длины бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три части. Какова вероятность того, что из этих отрезков можно построить треугольник?

16.40. Плоскость разбита параллельными линиями на сетку квадратов со стороной 2а. На плоскость брошен круг радиуса . Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.

16.41. Найти вероятность того, что корни уравнения действительные, если и все значения p и q равновероятны.

16.42. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма этих чисел будет не больше единицы, а их разность будет меньше 0,5.

16.43. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше единицы, а частное не больше двух.

16.44. На отрезке АВ длины l поставлены наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка M ближе к точке А, нежели точка N? Все положения точек M и N одинаково возможны.

16.45. На отрезке АВ длины l поставлены наудачу две точки M и N. Какова вероятность того, что точка M ближе к точке N, чем к точке А? Все положения точек M и N одинаково возможны.