2. Непрерывные случайные величины.
Закон
распределения вероятностей. Случайная
величина Х
называется непрерывной,
если существует такая функция
,
называемая плотностью
распределения вероятностей,
что при всех
.
Плотность распределения вероятностей обладает свойствами:
1.
;
2.
;
3.
(условие нормировки);
4.
.
Числовые характеристики случайных величин. Для НСВ с функцией плотности распределения f(x) математическим ожиданием называется интеграл
,
(5)
а дисперсией
. (6)
Свойства
математического ожидания и дисперсии
являются общими для НСВ и ДСВ и имеют
тот же вид
:
,
,
,
.
Вновь
,
а под СКО понимается
.
Равномерное
распределение. НСВ
Х
называется распределенной равномерно
на отрезке
,
если ее плотность распределения
вероятностей:
Пример.
Найти математическое
ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение НСВ, распределенной равномерно
на отрезке
:
Решение.
Найдем математическое ожидание по формуле (5):
.
Найдем дисперсию по формуле (6):
Можно найти дисперсию и другим способом:
,
.
Отсюда, с учетом , получаем:
.
Нормальный закон распределения. Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется распределение НСВ, для которого плотность вероятности определяется формулой
.
Для СВ, распределенной по нормальному закону:
.
Вероятность
попадания значений нормально распределенной
СВ Х
в интервал
определяется формулой
, (7)
где Ф(х) – функция Лапласа:
.
Значения функции Лапласа приведены в приложении. Для этой функции справедливо соотношение
. (8)
Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула:
.
Пример.
Найти вероятность попадания в интервал (4, 9) значений нормально распределенной СВ Х, для которой математическое ожидание равно 8, а среднее квадратическое отклонение равно 1.
Решение.
Применим формулу (7), которая в данном случае примет вид:
.
Используя далее соотношение (8), получаем окончательно:
(Значения функции Лапласа Ф(х) найдены по таблице приложения.)
Задачи.
17.22. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (1, 2).
17.23. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность
того, что в результате испытания Х
примет значения: а) меньше 0,2; б)
;
в) не меньше 5.
17.24. Закон Коши имеет следующую функцию распределения:
.
Найти: а) плотность
распределения; б) вероятность попадания
случайной величины, распределенной по
закону Коши, в интервал
.
17.25. Плотность распределения СВ Х задана формулой
Определить: а)
постоянную с;
б) вероятность
.
17.26. Найти
числовые характеристики
непрерывной случайной величины Х,
заданной плотностью вероятностей
17.27. При взвешивании тела получен средний вес 2,36 грамма, среднее квадратическое отклонение веса 0,025 грамма. Какой процент всех взвешиваний дает результат в пределах от 2,3 грамма до 2,4 грамма.
17.28. Диаметр круглой детали, изготовленной на станке, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 50 мм и среднее квадратическое отклонение 0,4 мм. Найти вероятность того, что отклонение длины диаметра от среднего значения по абсолютной величине будет заключено между числами 0,6 и 0,8.
17.29. Найти дисперсию СВ, распределенной по нормальному закону, если известно, что отклонения от математического ожидания, не превосходящие 0,1 см, имеют место с вероятностью 0,7887.
17.30. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и среднюю квадратическую ошибку 75 м. Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м.
17.31. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю квадратическую ошибку взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г.
17.32. Плотность вероятности СВ Х имеет вид:
Определить математическое ожидание и дисперсию СВ.