4. Системы случайных величин.
Для упорядоченной
пары случайных величин
функция
называется функцией
распределения
случайного вектора
.
Свойства функции распределения:
1.
.
2.
,
.
3.
.
4.
- неубывающая функция своих аргументов.
5. непрерывна слева по каждому из своих аргументов.
Если компоненты
вектора представляют собой ДСВ, то закон
распределения случайного вектора можно
задать перечислением всех возможных
значений пар
и соответствующих им вероятностей
,
что удобно отображать в виде таблицы
двумерного распределения вероятностей.
Если компоненты вектора представляют
собой НСВ, то закон распределения может
быть задан при помощи функции двумерной
плотности распределения вероятностей
f(x,y),
интегрирование которой дает функцию
распределения:
.
Корреляционный
момент
случайных величин X
и Y
есть математическое ожидание
,
то есть
Случайные величины
X
и Y
называются коррелированными,
если их корреляционный момент
.
Пример.
По заданному закону распределения случайного вектора определить законы распределения его компонент - СВ Х и СВ Y.
Y\Х |
0 |
2 |
3 |
1 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
2 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
Решение.
СВ Х
принимает значения
.
Событие
есть сумма независимых между собой
событий
и
.
В результате вероятность этого события:
.
Аналогично находим
.
Таким образом, закон распределения СВ
Х имеет
ряд распределения:
хi |
0 |
2 |
3 |
pi |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
Таким же образом находим закон распределения СВ Y:
уi |
1 |
2 |
pi |
0,4 |
0,6 |
Задачи.
17.42.
Доказать
равенство:
.
17.43. Доказать
равенство:
.
17.44. Случайная точка на плоскости распределена по закону
Y\Х |
0 |
1 |
-1 |
0,1 |
0,15 |
0 |
0,15 |
0,25 |
1 |
0,2 |
0,15 |
Найти: а) одномерные законы распределения X и Y;
б)
,
,
,
,
.
17.45. Двумерная дискретная величина распределена по закону
X\Y |
2 |
3 |
4 |
2 |
0,3 |
0,15 |
0,05 |
3 |
0,15 |
0,1 |
0,05 |
4 |
0,05 |
0,05 |
0,05 |
5 |
0,05 |
0 |
0 |
Найти законы распределения X и Y.
17.46. Двумерная дискретная величина распределена по закону
X\Y |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0,04 |
0,08 |
0,06 |
0,02 |
1 |
0,15 |
0,2 |
0,12 |
0,03 |
2 |
0,01 |
0,22 |
0,02 |
0,05 |
Найти условный закон распределения величины Y при Х =1. Являются ли независимыми величины Х и Y?
17.47. Задана функция распределения случайной величины (X, Y)
.
Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно Х < 2, Y < 4.
17.48. Плотность распределения случайного вектора имеет вид
и
вне квадрата. Найти функцию распределения
.
Вычислить вероятность того, что X
и Y
примут значения
.
17.49. Плотность распределения случайного вектора имеет вид
Определить: а)
константу А;
б) функцию распределения
.
17.50. Найти плотность вероятности случайной величины (X, Y) по известной функции распределения
.