Некоторые геометрические свойства потенциального силового поля.

Геометрическое место точек, в которых силовая функция (потенциальная энергия) имеет одно и тоже постоянное значение, называют эквипотенциальной поверхностью или поверхностью уровня .

Обозначение 

При разных значениях постоянных получаем разные поверхности уровня, когда с = 0, то это соответствует нулевой поверхности уровня, при этом через каждую точку поля можно провести только одну поверхность уровня, так как силовая функция однозначна.

 

Примеры потенциальных силовых полей.

1.     U = П =0

.

Это поле силы тяжести является потенциальным.

Чем выше уровень, тем больше потенциальная энергия точки

2.     Поле силы упругости, также являются потенциальным.

 

Закон сохранения полной механической энергии.

Полной механической энергией материальной точки называется сумма её кинетической E, и потенциальной энергии П, а полной Е = Т + П

При движении материальной точки в потенциальном силовом поле её полная энергия сохраняется постоянно. Предположим, что механические силы, действующие на материальную точку потенциальны, тогда элементарная работа равна dU или –dП.

 

Основные уравнения динамики.

Две основные задачи динамики для несвободной точки.

При исследовании движения не свободной точки, как и в статике, исследуют с помощью принципа освобождаемости от связей, то есть действие связей заменяют соответственно реакциями F – равнодействующих, всех активных сил приложенных к точке; R – равнодействующая всех реакций.

Основное уравнение динамики для несвободной точки  

Задача динамики для не свободной точки.

1.     Дано движение точки, требуется найти активные силы, обеспечивающие эти движения и реакции связей.

2.     Даны активные силы. Нужно найти уравнение движения точки и реакции связей.

 

Движение точки по неподвижной поверхности.

Д ана: активная сила F, под действием которой точка движется по поверхности  .

Найти: уравнение движения точки, то есть  и 

Решение: запишем уравнение (1) в проекции на оси координат:

.

Уравнение (2) и система (3) решаются совместно. Неизвестные x, y, z, а также   (шесть неизвестных). А уравнений четыре. Для решения задачи нужны ещё два уравнения. Эти уравнения составляются из физических соображений.

 

Первый частный случай:

Допустим, что поверхность гладкая (трения нет).

Введём в рассмотрение градиент поверхности:

Условие параллельности:

В уравнение (3) подставим (4).

Решая совместно уравнения (5) и (2), находят x, y, z, λ. После нахождения λ находятся  .

 

Второй частный случай:

Движение точки по неподвижной кривой.

Д ано: F – уравнение кривой.

Найти: уравнение движения точки и реакцию R.

В этом случае удобно найти уравнение (1), записать в проекциях на естественные оси.

Неизвестные:   - четыре неизвестных.

1).  Частный случай: пусть кривая гладкая, тогда

      

2).  Частный случай: пусть кривая не гладкая, имеется сухое трение.

 

Плоский математический маятник.

Плоским математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нити, и которая движется под действием силы тяжести в вертикальной плоскости.

Предположим, что углы маятника малы 

Маятник совершает малые колебания по гармоническому закону.

Из формулы (2) реакция   известна.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

Реакция нити зависит только от   и начального отклонения маятника  .