2.1.7. Закон Архимеда

Равновесие твердого тела в жидкости.

На тело, находящееся в жидкости (см. рис. 2.22) действуют:

1) сила тяжести;

2) сила давления воды.

На каждый элемент поверхности площадью ds действует сила

,

где – единичный вектор, направленный по нормали внутрь тела.

Давление p зависит только от положения точки M, соответственно, каждая элементарная сила будет зависеть от расположения элемента и от его формы. Таким образом, равнодействующая сил будет зависеть только от места нахождения тела в жидкости и от величины внешней поверхности тела S.

Закон Архимеда: На твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела.

Условия равновесия плавающих тел.

Т.к. вес тела , а архимедова сила , то в случае неравенства плотностей тела жидкости, эти силы будут приложены к различным точкам. Для того чтобы плавающее тело было устойчивым, необходимо, чтобы центр приложения архимедовой силы (центр водоизмещения) находился выше центра приложения силы тяжести.

2.2. Тема 2. Основы кинематики и динамики жидкости и газа

Рис. 2.32. Скорость в точке

2.2.1. Основные понятия кинематики жидкости

Для описания движения жидкости используется математическая модель. В гидравлике наибольшее распространение получила модель Эйлера, суть которой можно объяснить следующим образом. Предположим, что точка М движется по некоторой траектории в системе неподвижных координат. Мгновенное значение составляющих скорости вдоль осей координат будет зависеть от положения точки, т.е. от величины координат x, y, z и времени t. Для составляющих скоростей течения жидкости в рассматриваемой точке (см. рис. 2.32), можно записать функциональные зависимости:

(2.29)

Зная для конкретного случая течения значения этих функций, можно для любого момента времени получить распределение скоростей течения жидкости.

Расход – количество жидкости, проходящей в единицу времени через данное сечение трубопровода. Различают объемный и массовый расходы.

Объемный расход – объем жидкости, проходящий в единицу времени через данное сечение трубопровода:

(2.30)

где V – объем жидкости.

Массовый расход – масса жидкости, проходящая в единицу времени через данное сечение:

.

(2.31)

Соответственно, , где ρ – плотность жидкости.

Траектория – кривая, вдоль которой происходит перемещение частицы жидкости.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор скорости движения частицы направлен по касательной к ней (см. рис. 2.33).

Рис.2.33. Линия тока

Трубка тока – поверхность, очерченная вдоль небольшого контура внутри которой вдоль линии тока перемещаются частицы жидкости. Стенки трубки тока непроницаемы. Площадь поперечного сечения трубки тока мала, поэтому скорости движения в каждой точке равны (см. рис. 2.34).

Рис. 2.34. Трубка тока

Элементарная струйка – поток жидкости, протекающий в трубке тока Элементарную струйку можно представить также как совокупность линий тока, проходящих через бесконечно малое сечение ds, а разность скоростей соседних линий тока бесконечно мала. Расход элементарной струйки dq = uds. Поток жидкости можно представить как совокупность трубок тока, в которых движутся элементарные струйки.

.

Средняя скорость потока – скорость, одинаковая в каждой точке потока в данном сечении, соответствует реальному расходу

,

где – скорость в точке в данном сечении; i – количество точек.

Для потока жидкости, состоящего из нескольких трубок тока можно записать

или ,

(2.32)

Рис. 2.35. Движение жидкости через контур

где S – площадь сечения потока жидкости.