2.2.4. Интегральная формула количества движения

Рис. 2.37. Силы, действующие на поток жидкости в канале

В теоретической механике изучается теорема о количестве движения материальных точек, которую можно применить в гидравлике. Будем считать движение жидкости в канале (см. рис 2.37) установившемся. Распределение давления в сечениях 1-1 и 2-2 гидростатическое. В сечении 1-1 действует сила давления, направленная внутрь выделенного объема жидкости , в сечении 2-2 – сила ( – давление в сечениях 1-1 и 2-2, – площади сечений). На элементарной площадке стенки канала действуют: сила реакции стенки, равная силе давления pds и сила вязкого трения τds. Проекция этих сил на ось движения равна pds sin α + τds cos α (α – угол наклона элементарной стенки какала к его оси). Суммарная проекция внешних сил, действующих на изолированную массу жидкости, равна

.

Примем, что ось канала наклонена под углом θ к горизонту. Проекция веса жидкости, заключенной между сечениями равна gρVsin θ (V – объем выделенной массы жидкости).

Проекция всех сил, действующих на изолированную массу, равна

– gρVsin θ.

(2.40)

Распределение скорости в контрольных сечениях может быть неравномерным. Через элементарную площадку ds контрольной поверхности в единицу времени переносится количество движения, равное (u – местная скорость течения). Суммарное количество движения равно . Средняя скорость в контрольном сечении . Количество движения, подсчитанное по средней скорости равно

Отношение количества движения, действительно перенесенного потоком, к количеству движения, определенного по средней скорости, называется коэффициентом Буссинеска .

В единицу времени при установивш. движении изменение количества движения составит

,

где Q – расход жидкости.

Импульс действующих сил должен равняться изменению количества движения массы, на которую данный импульс действует. Следовательно, при течении жидкости в канале с учетом принятых условий соблюдается равенство

– gρVsin θ = .

(2.41)

Нами получено гидравлическое уравнение количества движения.

Вывод: При переходе от сечения 1-1 к сечению 2-2 проекция секундного количества движения потока изменяется на величину, равную сумме проекций всех внешних сил, действующих на объем потока, заключенный между сечениями 1-1 и 2-2.

Применяя уравнение количества движения, можно решить ряд задач гидравлики, например: теоретически определить коэффициент местного сопротивления при внезапном расширении трубы; изменение давления в трубе при равномерном отборе жидкости на одном ее участке; определение расхода газа при всасывании его через цилиндрическую трубу.

2.2.5. Дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера)

Предположим, что в жидкости движется элементарный объем в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (см. рис. 2.38). На параллелепипед действуют поверхностные силы давления и массовые силы с проекциями X, Y, Z, отнесенными к единице массы. При движении объема возникают силы инерции. Проекции этих сил на оси координат, отнесенные к единице массы, равны соответственно:

Рис. 2.38. Схема равномерного движения объема жидкости

Рассмотрим условие равновесия сил, в проекции на ось х. Сила давления на левую грань – pdydz, на правую грань

– (p + )dydz,

где =Δp – изменение давления вдоль оси x.

Массовая сила равна Xρdxdydz. Уравнение равновесия запишется в виде

pdydz – (p + ) dydz + Xρdxdydz ρdxdydz = 0,

или

– dxdydz + Xρdxdydz ρdxdydz = 0.

Разделив каждый член уравнения на ρdxdydz, получим

X – .

Соответственно для осей и уравнение равновесия будет выглядеть следующим образом

Y – ,

Z – .

Объединив полученные уравнения, получим систему уравнений Эйлера:

X – ,

Y – ,

(2.42)

Z – .

Можно получить полный дифференциал уравнений Эйлера для установившегося движения, если рассматривать перемещение частиц жидкости вдоль линии тока. Для этого надо умножить каждое из уравнений системы на соответствующую проекцию элементарного перемещения частиц dx, dy, dz, и сложить их:

(Xdx + Ydy + Zdz) – – = 0.

Т.к. для установившегося течения линии тока совпадают с траекториями движения частиц, то

Тогда

= =

Для установившегося движения давление зависит только от координат, поэтому второй член уравнения есть полный дифференциал давления dp. Получим

(Xdx + Ydy + Zdz) – dp – = 0

(2.43)

Мы получили дифференциальное уравнение движения невязкой жидкости.

В поле силы тяжести

X = 0, Y = 0, Z = – g,

тогда уравнение запишется в следующем виде

– gdz – – = 0.

После интегрирования этого уравнения получаем (при ρ = const) уравнение

gz + + = const,

(2.44)

которое называется уравнением Бернулли для струйки невязкой жидкости.