§ 2. Построение планов положений механизма

Планом положения механизма называется чертеж, изображающий расположение его звеньев в какой-либо оп­ределенный момент движения. Отсюда следует, что план положения представляет собой кинематическую схему ме­ханизма, вычерченную для заданного положения криво­шипа в определенном масштабе.

Планы положений механизмов, включающих в себя двухповодковые группы, строятся методом засечек.

Пример 2. Построить план положения механизма (рис. 2) для заданного угла поворота кривошипа при l_{O A}= 0,03 м; l_{O O} = 0,055 м; l_АВ – 0,05 м; l _{O В}=0,045м; l_AC = l_BC = 0,027 м; l_{O D}= 0,024 м; l_DE = 0,06 м; смеще­ние =0,015 м и угол = 55°.

Решение. Для построения плана принимаем, что длину кривошипа l_{O A} на схеме будет изображать отрезок O₁A, длина которого равна 30 мм. Тогда масштаб длин плана

м/мм.

Затем вычисляем длины остальных отрезков, которые будем откладывать на чертеже:

мм; мм;

мм;

мм; мм;

мм; мм.

Построение плана (рис. 4) начинаем с нанесения элементов не­подвижного звена. Штрихпунктирной линией проводим линию центров O₁O₂ и на ней наносим точки O₁ и O₂ на рас­стоянии O₁O₂ = 55 мм. На расстоянии а' от линии O₁O₂ проводим траекторию движения точки Е.

Под углом φ = 55° к линии O₁O₂ через точку О₁ прово­дим ось ведущего звена и от этой точки откладываем на ней отрезок О₁А. Это и будет изображение ведущего звена О₁A в заданном положении.

Положение точки В определяем методом засечек. Для этого из точки А радиусом АВ, а из точки O₂ радиусом О₂B проводим дуги. Точка их пересечения и будет точкой В.

На звене O₂В находим положение точки D. Сделав ра­диусом DE из точки D засечку на траектории движения точки Е, определяем положение этой точки на схеме. По­ложение точки С находим на пересечении дуг радиусов АС и ВС.

Рис. 4

Дополнительно заданы положения центров тяжести:

Используя масштаб длин , на плане положений отмечаем центры тяжести:

мм. мм.

мм.

§ 3. Определение скоростей точек механизма методом планов скоростей

Зная закон движения ведущего звена и длины всех зве­ньев механизма, можно определить скорости его точек по величине и направлению в любом положении механизма путем построения плана скоростей для этого положения.

Построение планов скоростей и чтение их во многом упрощаются при использовании свойств этих планов, ко­торые заключаются в следующем:

1. Векторы, исходящие из полюса, изображает абсолют­ные скорости соответствующих точек звеньев механизма в масштабе плана скоростей. Точки плана скоростей, соот­ветствующие неподвижным точкам механизма, находятся в полюсе плана.

2. Векторы, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей, выражают величины и направления относитель­ных скоростей.

3. Векторы относительных скоростей точек звена на плане скоростей образуют фигуру, подобную одноимен­ной жесткой фигуре, образованной отрезками, соединяющими эти точки звена на плане механизма, повернутую по отношению к последней на 90° в сторону мгновенного вращения данного звена.

Пример 3. Определить абсолютные и относительные скорости точек звеньев и угловые скорости звеньев меха­низма (см. рис. 5) методом планов скоростей для положе­ния его, указанного в примере 2 ( ₁ = 55°), кривошип O₁A имеет частоту вращения n₁ = 120 об/мин в направлении по часовой стрелке. Размеры звеньев — те же.

Рис. 5

Решение. Определяем угловую скорость кривошипа О₁А по фор­муле:

1/c.

Из теоретической механики известно, что скорость ка­кой-либо точки звена может быть представлена в виде векторной суммы переносной и отно­сительной скоростей. Тогда абсолютная скорость точки А кривошипа О₁А будет определятся

где - переносная скорость т. О₁ , - относительная скорость т. А во вращении вокруг т. В. Т. о., абсолютная скорость совпадает с относительной, поэтому скорость точки А находим по фор­муле

м/с.

Вектор _a направлен перпендикулярно к оси звена O₁A в сторону его вращения.

Задаемся длиной отрезка ра, который будет изображать на плане скорость , точки A; ра = 66 мм. Масштаб плана скоростей

м/с·мм.

От произвольной точки р, принятой за полюс плана ско­ростей, откладываем перпендикулярно к звену О₁А отре­зок ра (рис. 6).

Рис. 6

Скорости неподвижных точек О₁ и O₂ равны нулю, поэтому векторы и также равны нулю и, следовательно, токи о₁ и о₂ на плане скоростей совпадают с по­люсом р.

Для определения скорости точки В воспользуемся векторными уравнениями:

(1)

(2)

где — скорость точки А в переносном движении; — относительная скорость точки В во вращении вокруг точки А; — скорость точки O₂; — относительная скорость точки В во вра­щении вокруг точки O₂.

В этих уравнениях скорость известна по величине и направлению, скорость = 0. Относительные скорости и известны лишь по линии действия: пер­пендикулярна к звену АВ, перпендикулярна к звену 0₂В. Поэтому для определения скорости точки В через точку а (конец вектора скорости ) проводим перпенди­кулярно звену АВ линию действия скорости , а через точку о₂, совпадающую с полюсом р плана скоростей, проводим перпендикулярно звену О₂В линию действия скорости . На пересечении этих двух линий действия получим точку b — конец вектора скорости точки В:

м/с.

Направление скорости определяется направлением вектора .

Согласно уравнению (1) вектор изображает относительную скорость точки В во вращении вокруг точки А:

м/с.

Согласно уравнению (2) вектор ( ) изображает относительную скорость точки В во вращении вокруг точки O₂:

м/с.

Положение точки с (конец вектора скорости точки С) определяем на плане скоростей по теореме подобия (третье свойство планов скоростей). На отрезке ab плана скоростей строим треугольник аbс, подобный треугольнику ABC звена 2. Определяем длины отрезков ас и bc из пропорций

и

Поскольку АС = ВС, то мм.

Из точек а и b плана скоростей радиусами, равными со­ответственно отрезкам ас и bc, делаем засечки. Получив две точки пересечения этих дуг, справа и слева от вектора . За точку с плана скоростей следует взять ту из полу­ченных точек, при которой порядок букв в треугольниках abc и ABC будет одинаковым. Так, например, при обходе сторон ABC звена 2 по направлению вращения часовой стрелки читаем: А С В. Порядок букв в треуголь­нике abc при обходе сторон треугольника также по часовой стрелке должен сохраниться а с b. Следовательно, точка с плана скоростей будет слева от вектора .

Соединяем полюс плана скоростей р с точкой с и опре­деляем величину скорости точки С:

м/с.

Согласно тому же свойству планов скоростей находим положение точки d на плане исходя из пропорции:

В этом случае фигура относительных скоростей o₂db на плане скоростей будет прямой по подобию с прямой О₂B механизма:

мм.

Определив положение точки d на плане скоростей, нахо­дим величину скорости точки D

м/с.

Скорость точки Е шатуна DE представляем в виде век­торной суммы переносной и относительной скоростей. Для ее определения воспользуемся векторными уравнениями:

(3)

(4)

где — скорость точки D в переносном движении; — относительная скорость точки Е во вращении вокруг точки D; — скорость точки Е₀, принадлежащей стойке и совпадающей в данный момент с точкой Е ползуна; — скорость точки Е в поступательном движении относительно точки Е₀.

В этих уравнениях скорость известна по величине и направлению, скорость = 0. Относительные скорости и известны лишь по линиям действия: пер­пендикулярна к звену DE, параллельна оси направ­ляющих ползуна. Для определения скорости точки Е через точку d плана скоростей проводим перпендикулярно звену DE линию действия скорости , а через точку е₀, совпадающую с полюсом плана р параллельно оси направляющих ползуна (х — х) — линию действия скорости . Точка е пересечения этих линий действия опреде­ляет конец вектора скорости точки Е. Величина ско­рости

м/с.

Вектор de определяет величину и направление ско­рости

м/с.

Исходя из теоремы подобия (третье свойство планов скоростей) находим на плане точки s₂, s₃, s₄, соответству­ющие центрам тяжести звеньев S₂, S₃ и S_4. Из полюса р в эти точки проводим векторы. Определяем величины скоростей центров тяжести:

м/с;

м/с;

м/с.

Переходим к определению угловых скоростей звеньев. Угловая скорость ω₁ ведущего звена известна по величине и направлению (ω₁ = 12,56 1/с и это звено вращается по часовой стрелке).

Чтобы определить угловую скорость ω₂ звена АВ, рас­смотрим вращение точки В вокруг точки А. Направление скорости точки В во вращении вокруг точки А опреде­ляется направлением вектора . Мысленно переносим этот вектор в точку В механизма и считаем точку А как бы неподвижной. Точка В в направлении вектора враща­ется относительно точки А против часовой стрелки, что и определяет направление вращения звена АВ. Находим величину угловой скорости второго звена по формуле

1/c.

При определении направления угловой скорости ω₃ по­ступаем аналогично. Перенесенный в точку В звена O₂В вектор показывает, что точка В вращается относительно точки O₂ по часовой стрелке (см. рис. 5). Это определяет направление угловой скорости третьего звена

1/с.

Чтобы определить угловую скорость ω₄ звена DE, мысленно переносим вектор скорости в точку Е. В направлении вектора точка Е вращается относительно точки D, которую считаем как бы неподвижной, против часовой стрелки, что и определяет направление вращения звена DE (см. рис. 5). Величина этой угловой скорости

1/с.

Угловая скорость ползуна 5, совершающего прямоли­нейное поступательное движение, равна нулю.

Полученные значения абсолютных и относительных скоростей точек и значения угловых скоростей звеньев сво­дим в таблицу 2.

Таблица 2

Обозначение	Значение скорости, м/с	Обозначение	Значение скорости, м/с (ω в 1/с)
υA	0,377	υ S	0,314
υB	0,24	υ S	0,148
υBA	0,188	υ S	0,128
υC	0,274	ω1	12,56
υD	0,128	ω2	3,76
υE	0,131	ω3	5,32
υED	0,0257	ω4	0,428