§ 6. Многозвенные зубчатые передачи

При проектировании зубчатых механизмов многих машин и приборов возникает необходимость обеспечить передачу вращения с большим передаточным отношением или при значительных межосевых расстояниях. В таких случаях применяют многозвенные зубчатые механизмы – либо редукторы, снижающие скорость вращения выходного вала по сравнению со скоростью входного звена, либо мультипликаторы, повышающие ее.

Многозвенные зубчатые механизмы подразделяются на два вида: 1) механизмы с неподвижными осями всех колес (рядовые и ступенчатые зубчатые механизмы); 2) механизмы, в которых оси отдельных колес перемещаются относительно стойки (планетарные и дифференциальные механизмы).

Механизмы с неподвижными осями зубчатых колес имеют число степеней свобод, равное единице, благодаря чему передаточное отношение постоянно.

Общее передаточное отношение многозвенного зубчатого механизма равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней:

Рядовые зубчатые механизмы представляют собой последовательное соединение нескольких пар зубчатых колес (рис. 14).

Общее передаточное отношение рядового зубчатого механизма постоянно и равно обратному отношению чисел зубьев или радиусов крайних колес:

.

Знак передаточного отношения определяется множителем , где - число передач внешнего зацепления. Но передаточное отношение в таких передачах невелико, так как оно ограничено допустимой величиной и , а числа зубьев промежуточных колес не влияют на величину общего передаточного отношения механизма, поэтому их называют паразитными колесами.

Рис. 14

Ступенчатые зубчатые механизмы (рис. 15) представляют собой последовательное соединение блочных (спаренные колеса 1 и 2; 2^” и 3) или одиночных зубчатых колес. В общем случае при j колесах и t внешних зацеплениях полное передаточное отношение ступенчатой передачи

^,

т.е. равно отношению произведения чисел зубьев ведомых колес к произведению ведущих колес.

Рис. 15

Зубчатые механизмы с подвижными осями имеют колеса с движущимися геометрическими осями, которые называются саттелитами. На рис. 16 показана схема планетарного механизма: подвижное звено – h, в котором помещены оси саттелитов, называется водилом; вращающееся неподвижной оси колесо – 1, по которому обкатываются саттелиты, называется центральным; неподвижное центральное колесо – 3 называется опорным. Как правило, планетарные механизмы изготовляются соосными, это означает, что оси колес 1, 3 и водила h находятся на одной прямой.

Рис. 16

Обычно у реального механизма имеется несколько симметрично расположенных саттелитов. Их вводят для того, чтобы снизить усилия в зацеплении, разгрузить подшипники центральных колес, улучшить уравновешивание водила. Но при кинематических расчетах учитывается только один саттелит, так как остальные являются пассивными в кинематическом отношении.

Аналитический метод исследования планетарных механизмов основан на способе обращения движения. Всем звеньям механизма сообщается угловая скорость, равная по величине и противоположная по направлению угловой скорости водила . Тогда водило становится неподвижным, и механизм из планетарного обращается в зубчатый механизм, состоящий из нескольких последовательно соединенных пар зубчатых колес (1,2 и 2`3). Передаточные отношения планетарного механизма и обращенного механизма связаны условием:

.

Эта формула справедлива для любой схемы планетарного редуктора при наличии неподвижного центрального колеса. Значит, передаточное отношение от любого саттелита k к водилу при неподвижном опорном колесе j равно единице минус передаточное отношение от этого же колеса к опорному в обращенном механизме:

.

Если в планетарном механизме (рис. 16) освободить от закрепления опорное колесо 3 и сообщить ему вращательное движение, то механизм превратится в дифференциал со степенью свободы W = 2 (рис. 17).

Рис. 17

Для кинематического исследования дифференциальных механизмов используются формула Виллиса, полученная так же на основе метода обращения движения:

,

Где - передаточное отношение в обращенном движении ( ).

Графическое определение передаточного отношения многозвенных механизмов зубчатых можно осуществить методом планов скоростей (треугольников скоростей). Треугольники скоростей можно построить, если известны линейные скорости не менее двух точек звена (по величине и направлению). Используя этот метод и построив треугольники скоростей (рис.18), можно получить наглядное представление о характере изменения скоростей от одного вала к другому, и можно определить графически угловую скорость любого звена (колеса).

Исходные данные: m – модуль зацепления, z_i- числа зубьев колес, .

Определить передаточное отношение механизма .

Рис. 18

Решение. Построим кинематическую схему механизма в масштабе , определив радиусы делительных окружностей зубчатых колес

.

Найдем линейную скорость т. А в зацеплении звеньев 1 и 2

.

В системе координат r0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. Для этого из точки а с ординатой r₁ в выбранном произвольном масштабе отложим отрезок aa”. Через конец этого отрезка и начало координат проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси r₁. Эта прямая образует с осью r₁ угол . Так как в точке C скорости звеньев 2 и 3 равны между собой и равны нулю, то, соединяя точку C прямой с точкой a”, получим линию распределения скоростей для звена 2. Так как точка B принадлежит звеньям 2 и h, то ее скорость определяется по лучу сa” для радиуса равного r_B = (r₁+r₂), что в масштабе соответствует отрезку bb”. Соединяя точку b” с началом координат прямой, найдем линию распределения скоростей для водила. Эта линия образует с осью r угол . Передаточное отношение планетарного механизма, определенное по данным графическим построениям, можно записать так

.

Пример 7. Определить число оборотов водила Н дифференциального механизма (рис. 19) аналитическим и графическим методами.

Рис. 19

Дано: числа зубьев: Z₁ = 10; Z₂ =30 Z₂^,= 28; Z₃= 22; Z_3'=30_; Z₄= 80_; Zн=34; Z₅=60; модуль зацепления m= 6; числа оборотов: n₁= 90_; n₄=40.

Решение. 1. Определим число оборотов водила аналитически. Запишем основную формулу дифференциального механизма:

где: - передаточное отношение механизма в обращенном движении (при неподвижном водиле Н) ;

n₂ – число оборотов зубчатого колеса 2, определим из соотношения : об/мин.

Выразим число оборотов водила из основной формулы дифференциального механизма:

об/мин.

2. Определим число оборотов водила графически. Построим кинематическую схему механизма в масштабе (рис. 20), предварительно определив радиусы делительных окружностей зубчатых колес:

мм; мм; мм; мм; мм; мм; мм; мм;

Определим окружные скорости в зацеплениях A и D:

м/с, где м;

м/с, где м;

Выберем масштабный коэффициент плана скоростей [м/с мм], тогда длины векторов, изображающих соответствующие скорости определятся:

мм; мм;

В произвольно выбранной системе координат r0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. На ось ординат проецируем неподвижные оси зубчатых колес – точки _.

Рис. 20

Из точки с ординатой r₁ отложим отрезок , из точки с ординатой r₄ отложим отрезок . Так как по условию задачи числа оборотов n₁ и n₄ оба положительны, то векторы и направлены в одну сторону.

Через точки и проводим прямую, которая является линией распределения скоростей для точек звена , лежащих на оси . На эту линию проецируем точку В и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость в зацеплении В.

Соединяем точки и и проецируем на эту линию точку С, так как ее скорость зависит от скоростей звеньев 2` и 4. Вектор изображает скорость V_c в масштабе .

Отрезок является линией распределения угловых скоростей водила Н.

рад/сек

м/мм.

об/мин.

Пример 8. Определить передаточное отношение i₁₅ планетарного механизма аналитическим и графическим методами.

Решение. 1. Закрепим колесо 4 и определим передаточное отношение i₁₅ планетарной передачи аналитически.

Общее передаточное отношение представим в виде произведений передаточных отношений отдельных ступеней и планетарного механизма:

где - передаточные отношения зацеплений зубчатых колес 1 и 2; Н и 5;

= - передаточное отношение планетарного механизма.

Передаточное отношение планетарной передачи

.

2. Определим передаточное отношение i₁₅ графически. Построим кинематическую схему механизма в масштабе по данным примера 7 (рис. 21)

Выберем масштабный коэффициент плана скоростей [м/с мм], тогда длина вектора, изображающего скорость в зацеплении А определится:

мм.

В произвольно выбранной системе координат r0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. На ось ординат проецируем неподвижные оси зубчатых колес – точки _. и точку d с ординатой r₄.

Из точки с ординатой r₁ отложим отрезок . Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси r₁. Эта прямая образует осью ординат угол .

Через точки и проводим прямую, которая является линией распределения скоростей для точек звена , лежащих на оси . На эту линию проецируем точку В и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость в зацеплении В. Соединяем точки и и проецируем на эту линию точку С. Получаем вектор , изображающий скорость V_c в масштабе .

Через точки и проводим линию, проецируем на нее точку Е и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость зацеплении Е. Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 5, лежащих на оси r₅. Эта прямая образует осью ординат угол .

Рис. 21

Передаточное отношение планетарного механизма, определенное по данным графическим построениям, определится

.

Пример 9.

Определить передаточное отношение i₁₄ трехступенчатой зубчатой передачи аналитическим и графическим методами.

Решение.

1. Закрепим водило Н и определим передаточное отношение i₁₄ трехступенчатой зубчатой передачи аналитически.

2. Определим передаточное отношение i₁₄ графически. Построим кинематическую схему механизма в масштабе по данным примера 7 (рис. 22)

Выберем масштабный коэффициент плана скоростей [м/с мм], тогда длина вектора, изображающего скорость в зацеплении А определится:

мм.

В произвольно выбранной системе координат r0V построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев. На ось ординат проецируем неподвижные оси зубчатых колес – точки _. и точку с с ординатой .

Из точки с ординатой r₁ отложим отрезок . Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси r₁. Эта прямая образует осью ординат угол .

Рис. 22

Через точки и проводим прямую, которая является линией распределения скоростей для точек звена , лежащих на оси . На эту линию проецируем точку В и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость в зацеплении В. Соединяем точки и c и проецируем на эту линию точку D. Получаем вектор , изображающий скорость V_D в масштабе . Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 4, лежащих на оси r₄. Эта прямая образует осью ординат угол .

Передаточное отношение трехступенчатой зубчатой передачи, определенное по данным графическим построениям, определится

.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3