Геометрическое определение вероятности.
Применение классического определения носит ограниченный характер, так как оно применяется только при подсчете вероятностей событий в опытах, сводящихся к схеме случаев с конечным числом исходов.
Общая задача, которая ставилась и привела к расширению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом.
Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g с квадрируемой границей. В область G наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выражению «точка бросается наудачу в область G» придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.
Таким образом, по определению, геометрическая вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область G равна
Решение типовых задач
Пример 1. Задача о встрече.
Два лица А и В условились Встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы.
Решение.
Обозначим моменты
прихода лица А через х и лица В
через у. Для того чтобы встреча
произошла, необходимо и достаточно,
чтобы
.
Будем изображать хOу как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече — расположатся в заштрихованной области (рис. 2.1).
Искомая вероятность
равна отношению площади заштрихованной
фигуры к площади всего квадрата:
Пример 2. Задача Бюффона.
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросается игла длины 2l(l≤a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
Решение.
Обозначим через х
расстояние от центра до ближайшей
параллели и через
—угол,
составленный иглой с этой параллелью.
Величины х и
полностью определяют положение иглы.
Всевозможные положения иглы определяются
точками прямоугольника со сторонами a
и
.
Из рис. 2.2. видно, что для пересечения
иглы с параллелью необходимо и достаточно,
чтобы
.
Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 2.3. области к площади прямоугольника
Заметим,
что задача Бюффона являлась исходным
пунктом для решения некоторых проблем
теории стрельбы, учитывающих размеры
снаряда.
Задачи для самостоятельной работы
2.1.
В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки A на расстояние, не меньшее l.
(Ответ: p
=
)
2.2.
На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.
(Ответ: p
=
=
0.316)
2.3.
В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?
(Ответ: p = 0.134)
2.4.
Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска перпендикулярна отрезку. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно l.
(Ответ: p
=
)
2.5.
Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.
(Ответ: p
=
)
2.6.
Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k=1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки:
а) в круг радиуса 2r;
б) в заштрихованную область.
(Ответ: а) p = 0,16; б) p = 0.6 )
2.7.
Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судком курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин. после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.
(Ответ: p = )
2.8.
На отрезке длиной
l наудачу выбраны две
точки. Какова вероятность, что расстояние
между ними меньше kl,
где
?
(Ответ: p = k(2-k) )
2.9.
На отрезке АВ длиной l наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.
(Ответ: p = 0.75)
2.10.
На отрезке длиной l наудачу ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник.
(Ответ: p
=
)
2.11.
Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго — два часа.
(Ответ: p = 0.121)
2.12
Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.
(Ответ: p
=
)
Дополнительные задачи для решения:
Сборник задач [7] Ч.1 гл.1, §§ 1,2 стр.8-17; гл.2, §§ 1-4 стр.18-36; гл.3, § 1 стр.37-39.
Вопросы для самопроверки: Учебное пособие [4] стр. 18.
Дополнительные вопросы для самопроверки:
Что такое случайное событие?
Перечислите и дайте определение основных видов событий.
Что такое элементарный исход испытаний?
Привести формулу пояснить её содержание для определения вероятности по классической и статистической схеме.
Дать пример, когда вероятность события невозможно найти по классической схеме.
В чём состоит смысл принципов практической невозможности события с малой вероятностью и практической достоверности событий с вероятностью очень близкой к единице?
Дополнительные задачи для домашнего задания:
Учебное пособие [4] стр. 17 задачи № 1-6