Занятие 3. Формулы полной вероятности и Байеса. Формула Бернулли

Формула полной вероятности

Предположим, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из n несовместных событий . Иными словами, положим , где события BA_i и BA_j с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: .

Применяя теорему умножения, находим:

Это равенство носит название формулы полной вероятности.

Решение типовых задач

Пример 5.1.

Формулировка задачи.

Среди n лиц разыгрываются т n выигрышей путем случайного извлечения из ящика n билетов. Одинаковы ли шансы выигрыша для любого из играющих? Когда выгоднее тащить билет?

Решение.

Обозначим через A_k событие, состоящее в извлечении выигрышного билета после k извлечений билетов из ящика. По результатам предыдущих опытов можно сделать k+1 гипотез. Пусть гипотеза H_ks означает, что из k извлеченных билетов выигрышных было s. Вероятности этих гипотез

причем

_.

Так как осталось n—k билетов, из которых т—s выигрышных, то при m s

_.

По формуле полной вероятности находим

_,

где при s>m.

Данное равенство можно записать также в виде

_.

Имеем

_,

т. е. справедливо равенство

_.

Искомая вероятность Р(A_k)= при любом k. Таким образом, у всех играющих шансы одинаковы и очередность извлечения не имеет значения.

Пример 5.2.

Формулировка задачи.

Отмеченный шар с вероятностями p и 1—p может находиться в первой или во второй урне. Вероятность извлечь отмеченный шар из урны, в которой этот шар находится, равна Р(Р 1). Как следует распорядиться правом n раз извлекать шары из любой урны, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара хотя бы один раз была наибольшей, если шар после извлечения возвращается в урну?

Решение.

Пусть событие А — извлечение отмеченного шара.

Гипотезы: H₁—шар находится в первой урне, H₂—во второй.

По условию P(H₁)=p, Р(H₂)=1—р.

Допустим, что из первой урны извлечено т, а из второй n—т шаров. Условные вероятности извлечения отмеченного шара будут

_.

По формуле полной вероятности искомая вероятность

_.

Нужно определить т так, чтобы была наибольшей вероятность Р (А). Дифференцируя Р(A) по т (для нахождения приближенного значения т считаем m непрерывным), получаем

_.

Полагая, приходим к равенству

.

Поэтому должно быть

_.

Задачи для самостоятельной работы

5.1.

Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

(Ответ: p = )

5.2.

Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

(Ответ: p = )

5.3.

Имеется n урн, в каждой из которых по m белых и по k черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны.

(Ответ: p = )

5.4.

В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

(Ответ: p = 0,7)

5.5.

Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии деталей бракованные, а в двух других — все доброкачественные?

(Ответ: p = )

5.6.

Характеристика материала, взятого для изготовления продукции, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции.

(Ответ: p = 0,332)

5.7.

В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны?

(Ответ: p = )

5.8.

В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.

(Ответ: p = 0,089)

5.9.

В правом кармане имеются три монеты по 20 коп. и четыре монеты по 3 коп., а в левом — шесть по 20 коп. и три по 3 коп. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 коп, если монета берется наудачу.

(Ответ: p = )

5.10.

Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

(Ответ: p = )

Формула Байеса

Получим важные формулы Байеса или, как иногда говорят, формулы вероятности гипотез. Требуется найти вероятность события A_i , если известно, что В произошло. Согласно теореме умножения имеем:

(6.1)

Из соотношения (6.1) получаем

(6.2)

Используя формулу полной вероятности (5.1), находим:

(6.3)

Полученные формулы (6.3) носят название формул Бейеса. Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова.

Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез: . По тем или иным причинам нам известны вероятности этих гипотез до испытания (априорные вероятности гипотез). Известно также, что гипотеза сообщает событию вероятность . Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез ; формулы Бейеса количественно решают этот вопрос.

Вероятности называются апостериорными вероятностями события .

Решение типовых задач

Пример 6.1.

Формулировка задачи.

Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.

Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если:

а) принят сигнал «точка»;

б) принят сигнал «тире».

Решение.

Пусть событие А—принят сигнал «точка», а событие В — принят сигнал «тире».

Можно сделать две гипотезы: Н₁ — передан сигнал «точка», Н₂ — передан сигнал «тире».

По условию Р(Н₁):Р(Н₂) = 5:3.

Кроме того, P(Н₁) + P(Н₂) = l.

Поэтому P(Н₁) = , P(Н₂) = .

Известно, что

Вероятности событий A и В находим по формуле полной вероятности:

Искомые вероятности будут:

Пример 6.2.

Формулировка задачи.

Имеется две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, а в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.

Решение.

Введем событие А, состоящее в том, что первая деталь доброкачественная.

Гипотезы:

H₁ — взята партия с недоброкачественными деталями,

H₂ — взята партия доброкачественных деталей.

По условию задачи

Р(H₁) = Р(H₂) = ,

Р (A| H₁) = ,

Р (A| H₂) = 1.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность события А будет

.

После первого испытания вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали, равна

Вероятность того, что партия содержит только доброкачественные детали,

Пусть событие В состоит в том, что при втором испытании деталь оказалась недоброкачественной. Вероятность данного события также находится по формуле полной вероятности.

Если и — вероятности гипотез H₁ и H₂ после испытания, то согласно предыдущим вычислениям

, .

Кроме того,

,

.

Поэтому искомая вероятность

Задачи для самостоятельной работы

6.1.

Имеется десять одинаковых урн, из которых в девяти находятся по два черных и по два белых шара, а в одной— пять белых и один черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров?

(Ответ: p = )

6.2.

Известно, что 96°/о выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.

(Ответ: p = 0,998)

6.3.

Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

(Ответ: Пять бракованных изделий )

6.4.

Игрок D играет с неизвестным противником на следующих условиях: ничейный исход исключен; первый ход делает противник; в случае его проигрыша делает ход D, выигрыш которого означает выигрыш игры, а при проигрыше игра повторяется второй раз на тех же условиях. Из двух равновозможных противников В имеет вероятность выиграть первым ходом 0,4, а вторым — 0,3; С имеет вероятность выиграть первым ходом 0,8, а вторым ходом 0,6. Для D вероятность выиграть первым ходом равна 0,3 и не зависит от противника, а для второго хода равна 0,5 при игре с В и 0,7 при игре с C. Игру выиграл D.

Какова вероятность:

а) что противником был В;

б) что противником был С?

(Ответ: а) p =0,59; б) p = 0,41)

6.5.

Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью 0,6 и 2 — с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

(Ответ: Ко второй группе)

6.6.

Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно . При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

(Ответ: p = )

6.7.

Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.

(Ответ: = 0,103; = 0,277; = 0,620)

6.8.

Два стрелка поочередно стреляют в мишень. Вероятности попадания первыми выстрелами для них равны соответственно 0,4 и 0,5, а вероятности попадания при последующих выстрелах для каждого увеличиваются на 0,05. Какова вероятность, что первым произвел выстрел первый стрелок, если при пятом выстреле произошло попадание в мишень?

(Ответ: p = )

6.9.

Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появления другого события В зависит от числа появлений события A: при однократном появлении события A эта вероятность равна 0,1, при двукратном появлении равна 0,3, при трехкратном появлении равна 0,7; если событие A не имело места ни разу, то событие В невозможно. Определить наивероятнейшее число появлений события A, если событие В имело место.

(Ответ: Одно появление)

6.10.

Получена партия из восьми изделий одного образца. По данным проверки половины партии, три изделия оказались технически исправными, а одно бракованным. Какова вероятность, что при проверке трех последующих изделий одно из них окажется исправным, а два бракованными, если любое количество бракованных изделий в данной партии равновозможно?

(Ответ: p = )

Формула Бернулли

Теорема Я. Бернулли. Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью p, то вероятность того, что событие A появится ровно m раз в n опытах, выражается формулой:

,

где q = 1– p.

Решение типовых задач

Пример 7.1.

Формулировка задачи.

Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен):

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение.

Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p = q = l/2.

а) Вероятность выиграть три партии из четырех

Вероятность выиграть пять партий из восьми

.

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех

_,

а вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми

_.

Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми.

Пример 7.2.

Формулировка задачи.

Имеется шесть потребителей электрического тока, для первого из которых при определенных условиях вероятность того, что произойдет авария, приводящая к отклю­чению потребителя, равна 0,6, для второго — 0,2, а для четырех остальных — по 0,3. Определить вероятность того, что генератор тока будет отключен полностью:

а) если все потребители соединены последовательно;

б) если потребители соединены так, как показано на схеме (рис. 6).

Решение.

а) Вероятность неотключения всех шести потребителей равна произведению вероятностей неотключения каждого потребителя, т. е.

_.

Искомая вероятность равна вероятности отключения хотя бы одного потребителя, т. е. .

б) В этом случае генератор будет отключен полностью, если в каждой паре последовательно соединенных потребителей отключен хотя бы один потребитель:

_.

Пример 7.3.

Формулировка задачи.

Большая партия изделий содержит один процент брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?

Решение.

Искомое число n находится по формуле .

В данном случае , а . Поэтому .

Пример 7.4.

Формулировка задачи.

Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.

Решение.

В данном случае n = 10, p = 0,4, (n + 1)p = 4,4. Наивероятнейшеё число , заявок равно целой части числа (n + 1)p, т. е. p = 4.

Вероятность четырёх заявок из десяти

_.

Задачи для самостоятельной работы

7.1.

Определить вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит:

а) цифры пять;

б) двух пятерок.

Известно, что все номера четырехзначные, неповторяющиеся и равновозможные (считается возможным номер 0000).

(Ответ: а) p = ; б) р = )

7.2.

В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, определить вероятность того, что в данной семье:

а) пять мальчиков;

б) мальчиков не менее трех, но и не более восьми.

(Ответ: а) p = б) р = )

7.3.

В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

(Ответ: p = 0,17)

7.4.

Событие В наступает в том случае, если событие A появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В, если вероятность появления события A при одном опыте равна 0,3 и произведено:

а) пять независимых опытов;

б) семь независимых опытов.

(Ответ: а) p = 0,163; б) р = 0,353)

7.5.

Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие A происходит с вероятностью 0,3. Событие В наступает с вероятностью, равной 1, если событие A произошло не менее двух раз; не может наступить, если событие A не имело места, и наступает с вероятностью 0,6, если событие A имело место один раз. Определить вероятность появления события В.

(Ответ: p = )

7.6.

По мишени в тире произведено 200 независимых выстрелов при одинаковых условиях, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания на один выстрел более вероятно: или , если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.

(Ответ: Вероятнее первая гипотеза)

7.7.

Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59. Какова вероятность появления события A при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

(Ответ: p = 0,2)

7.8.

Вероятность появления некоторого события в каждом из восемнадцати независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере три раза.

(Ответ: p = 0,73)

7.9.

Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает кольца до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.

(Ответ: p = )

7.10.

Определить вероятность получения не менее 28 очков при трех выстрелах из спортивного пистолета по мишени с максимальным числом очков, равным 10, если вероятность получения 30 очков равна 0,008. Известно, что при одном выстреле вероятность получения восьми очков равна 0,15, а менее восьми очков — 0,4.

(Ответ: p = )

7.11.

Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что:

а) у обоих будет равное количество попаданий;

б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго.

(Ответ: а) p = 0,321; б) р = 0,243)