Занятие 5. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины.
Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция f(x), удовлетворяющая при любых x равенству
.
Функция f(x) называется плотностью вероятности
.
Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения F(x) (интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности f(x) (дифференциальным законом распределения).
Функция распределения F(x) = Р(X<x), где x — произвольное действительное число, дает вероятность того, что случайная величина Х окажется меньше x.
Функция распределения F(x) имеет следующие основные свойства:
Плотность вероятности (дифференциальный закон распределения) f(x) обладает следующими основными свойствами:
Величина xp, определяемая равенством F(xp) = p, называется квантилем порядка p, квантиль x0,5 называют медианой. Если плотность имеет максимум, то значение x, при котором f(x) достигает максимума, называется модой.
Решение типовых задач
Пример 9.1.
Формулировка задачи.
Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)
.
Определить:
а) математическое ожидание М[X];
б)
дисперсию D[Х]
и среднее квадратическое отклонение
;
в)
центральные моменты третьего и четвертого
порядков
и
.
Решение.
Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида
целое),
которые равны: при n четном
,
где
,
и при n нечетном
.
а) Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно
.
Произведя замену
переменных
,
получим
.
б) Так как
,
то
.
в) 
,
где
.
Следовательно,
,
,
где
Следовательно,
.
Пример 9.2.
Формулировка задачи.
Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа)
.
Решение.
Так как плотность
вероятности симметрична относительно
нуля, то
.
Срединное отклонение Е вычисляется
по формуле
.
Отсюда
.
Задачи для самостоятельной работы
9.1.
Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Х имеет вид
.
Найти плотность вероятности случайной величины X.
Ответ:
9.2.
Дана функция распределения случайной величины (закон нормального распределения):
.
Найти плотность вероятности случайной величины X.
Ответ:
.
9.3.
В книге Г. Крамера дана функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом:
.
Определить размер годового дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5.
Ответ:
9.4.
Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид (экспоненциальный закон распределения)
.
Найти:
а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т;
б) плотность вероятности f(t).
Ответ: а) p
=
;
б)
9.5.
Случайная величина эксцентриситета детали характеризуется функцией распределения Рэлея
.
Найти:
а) плотность вероятности f(x);
б) медиану распределения;
в) моду распределения.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
9.6.
Функция распределения Вейбулла
в ряде случаев характеризует срок службы элементов электронной аппаратуры.
Найти:
а) плотность вероятности f(x);
б) квантиль распределения порядка p;
в) моду распределения.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
9.7.
Дана функция распределения случайной величины X (закон Коши):
F(х)
= с + barctg
.
Определить:
а) постоянные с и b;
б) плотность вероятности;
в) Р(
).
Ответ: а)
;
;
б)
;
в)
.
9.11.
Каково должно быть
,
чтобы
являлось плотностью вероятности
случайной величины X,
изменяющейся в бесконечных пределах?
Ответ:
.
9.12.
При каком значении функция
является плотностью вероятности случайной величины X? Найти:
а) функцию распределения случайной величины X;
б) вероятность попадания случайной величины, в интервал (- 1, 1).
Ответ: а)
;
б)
.