Методика измерения предела текучести при прокатке

На рис. 60 видно, что отношение

= 1

является границей высоких и средних очагов деформации. Выше уже отмечалось, что эта граница может смещаться в зависимости от условий деформации. Видно, что когда активные зоны смыкаются на оси, оба коэффициента равны 1:

n_з = n_ =1,

давление на валки равно базисному и равно пределу текучести металла при прокатке К.

Известно, что фактический предел текучести металла при прокатке отличается от полученного при растяжении стандартного образца. Они были бы одинаковыми, если бы при прокатке отсутствовало трение на контакте. Поэтому экспериментально предел текучести при прокатке необходимо определять путем прокатки образцов. Как видно, в базисных условиях (при = 1) можно измерить усилие прокатки Р, затем, поделив его на площадь контакта F =l b_cp, вычислить среднее давление р_ср, которое будет равно пределу текучести металла при прокатке К.

К= р_ср=Р/F.

Таким образом, получилась методика измерения предела текучести К при прокатке в базисных условиях.

4.3.Низкие очаги деформации

Н изкий очаг деформации характеризуется пренебрежимо малыми зонами прилипания. В очаге деформации от сечения входа до нейтрального сечения существует зона отставания и после нейтрального сечения – зона опережения. Коэффициент трения  представляет собой физическую характеристику трущихся поверхностей, а трение на контакте описывается законом Кулона

 = .

Эпюры контактных касательных и нормальных напряжений имеют вид, представленный на рис. 62.

Рис.62. Эпюры контактных напряжений трения и давления на низких очагах деформации.

Обычно считают, что низкие очаги реализуются при

l h_cp >4  5.

П ри таких значениях l h_cp применима гипотеза плоских сечений. Конечно, гипотеза плоских сечений выполняется строго только при отсутствии трения на контакте. А поскольку даже при самых лучших смазках коэффициент трения не равен нулю, то неравномерность деформации по высоте имеет место всегда, даже при очень низких очагах. К тому же, как известно, при нулевом трении на контакте прокатка принципиально невозможна.

. Рис. 63. К выводу уравнения

равновесия на низком

очаге деформации

Для математического описания силовой картины деформации металла на низких очагах принятие гипотезы плоских сечений вполне корректно, и для плоской деформации задача разрешима в конечном виде. Плоская деформация (что означает отсутствие уширения) имеет место при прокатке широкой и тонкой полосы, когда деформация металла в направлении ширины отсутствует, и весь смещенный объем металла устремляется в длину (это справедливо только для больших деформаций). Таким образом, достаточно правдоподобна упрощенная модель деформации металла: в любом сечении очага деформации напряжения и деформации постоянны по высоте и ширине образца, они изменяются только от сечения к сечению, любой прямоугольник, выделенный в сечении, остается прямоугольным.

Дифференциальное уравнение Кармана равновесия продольных сил в очаге деформации

Выделим в низком и широком очаге деформации (например, в зоне отставания) на расстоянии х от сечения выхода элемент abcd длиной dx (рис 63), находящийся в статическом равновесии. Ему соответствует центральный угол d_х. Угол  отрицательный слева от осевой плоскости валков и положительный - справа.

Справа на выделенный элемент действует сила

-_xh_xb,

где _x – среднее по высоте напряжение сжатия, действующее противоположно направлению оси х.

Аналогично, на левую площадку высотой (h_x+dh_x) действует сила

(_x +d_x)(h_x+dh_x)b,

направленная по оси х.

По поверхности контакта выделенного элемента действуют силы нормального давления р и трения , причем  в зоне опережения действует по ходу прокатки (в положительном направлении по оси х), а в зоне отставания – в обратном направлении.

Для выделенного элемента сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю:

(_x +d_x)(h_x+dh_x)b - _xh_xb + 2р sin_х bdx/ cos_х + 2 cos_х  bdx/ cos_х =0.

Делим на b, отбрасываем бесконечно малые второго порядка и группируем члены:

Данное выражение впервые было получено Карманом.

Выражение в скобках есть полный дифференциал. Касательные напряжения на соответствующем участке зоны контакта выразим формулой:

_.

Знак касательных напряжений учтём в формулах.

Подставляем _x в уравнение и делаем замену переменной X на , учитывая, что

.

В результате получаем уравнение равновесия в форме Орована:

.

Это уравнение может быть решено подстановкой вместо p и μ аппроксимирующих степенных функций. Причём решение будет справедливым и для случая прокатки с трением (т.е. при невыполнении гипотезы плоских сечений). Уравнение справедливо также при наличии зоны упругого восстановления полосы на выходе из валков.

Рассмотрим решение дифференциального уравнения, полученное Карманом (считаем далее угол  положительным).

Подставим в уравнение

dx = dh_x / 2tg_x .

Получаем

.

Для элемента, выделенного в зоне опережения, последнее слагаемое будет иметь знак “-” (минус).

При малом угле _x (соответствует прокатке тонких полос) и малом коэффициенте трения (справедлива гипотеза плоских сечений) вполне можно считать главное напряжение ₃, нормальное напряжение _y и давление р равными

₃_y  -р.

Справедливо будет в этом случае также

₁ _х

Тогда условие пластичности металла запишем в виде (здесь принято сжимающее _х>0)

р - _х = К,

где К - предел текучести материала при прокатке, который зависит от температуры, степени и скорости деформации. Коэффициент Лодэ  на узких образцах (при плоском напряженном состоянии) равен единице, а на широких образцах (при плоской деформации)

 = 1,155.

Продифференцировав последнее равенство, будем иметь (считаем К=const):

dp = d_x.

Подставляя в уравнение равновесия условие пластичности а также закон трения Кулона  =  р, получим известное упрощенное уравнение Т. Кармана (выше - полное уравнение Кармана), справедливое для прокатки тонких полос с низким трением:

.

Для зоны опережения будет знак ”+”.