Билет № 16, вопрос № 3 изгиб илиндрической оболочки при симметричном нагружении (моментная теория)
В местах сопряжения и закрепления оболочек, а также в местах приложения внешних окружных нагрузок возникают деформации изгиба.
Рассмотри м работу длинной круговой цилиндрической оболочки по краю которой приложены равномерно распределенные изгибающие моменты M0 и поперечные силы Q0, приходящиеся на единицу длины окружности срединной поверхности цилиндра. Выделим из цилиндра полоску единичной ширины (рис. а).
Цилиндрическая оболочка, нагруженная распределенным
изгибающим моментом и поперечной силой:
а – схема нагружения края оболочки; б – полоска, выделенная из цилиндра;
в – диаметральное сечение деформированной оболочки; г – схема
действия усилий на сечение полоски
Обозначим через y радиальное перемещение полоски и найдем относительную деформацию растяжения полоски в окружном направлении
.
(1)
Окружное напряжение в срединной поверхности
,
(2)
где Е – модуль упругости растяжения материала оболочки, Па.
Окружные растягивающие усилия T, приходящиеся на единицу длины полоски, имеют составляющую
(3)
и составляющую, обусловленную наличием растягивающей силы Tx?
.
(4)
Равнодействующая этих усилий, направленная по радиусу, равна
.
(5)
Следует отметить,
что
,
следовательно,
.
Из (5) видно, что R противодействует прогибу полоски и пропорциональна этому прогибу.
Относительное удлинение полоски при ее изгибе в направлении (X) оси цилиндра, согласно общему закону Гука
, (6)
а в окружном направлении
, (7)
где индекс «0» указывает, что рассматриваются напряжения и относительные деформации, обусловленные только изгибом.
Так как из уравнения
(7)
(перемещение в окружном направлении
исключено из-за наличия соседних
полосок), то уравнение (7) примет вид
, (8)
и следовательно уравнение (6) равно
, (9)
где
.
Из курса сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение, связывающее прогиб балки и распределенную нагрузку
. (10)
Для нашего случая (вместо )
, (11)
где P – давление внутри оболочки.
Знак (–) в уравнении (10) указывает, что направление силы сопротивления R противоположно направлению прогиба полоски.
Подставляя в (10)
значения R
и
из уравнения (5) и учитывая, что
;
– цилиндрическая жесткость оболочки
при изгибе, получаем
. (12)
Уравнение (12) можно переписать в виде
, (13)
где
.
Решение уравнения (13) для длинных цилиндрических оболочек
, (14)
а уравнение радиальных перемещений
, (15)
Угол наклона нормали
. (16)
Внутренние нагрузки Mx, Mt, Tt
; (17)
; (18)
. (19)
где
;
поверхностные нагрузки
.(20)
СХЕМА КАСКАДНОЙ ХОЛОДИЛЬНОЙ МАШИНЫ
В ряде случаев, обычно для экспериментальных или других специальных целей, необходимы низкие температуры - порядка - 80...- 100 °С. Использование в этих случаях многоступенчатых холодильных машин, работающих на одном хладагенте, нецелесообразно.
Так, при работе на хладагенте среднего давления R12 или R22 давление кипения будет существенно ниже атмосферного, а удельный объем пара, всасываемого компрессором, очень большим. Поэтому компрессор нижней ступени будет иметь увеличенные габаритные размеры и металлоемкость.
Применение одного хладагента высокого давления невозможно из-за низкой критической температуры, а аммиак вообще нельзя использовать, так как его температура замерзания -78 °С.
Для получения низких температур эффективны так называемые каскадные фреоновые холодильные машины. Они представляют собой систему отдельных одноступенчатых или двухступенчатых машин, работающих на разных хладагентах.
Принципиальная схема каскадной двухступенчатой фреоновой холодильной машины: PC - расширительный сосуд (необходим для сбора хладагента при
остановке машины)
На рисунке показана принципиальная схема наиболее простой каскадной двухступенчатой фреоновой холодильной машины. Она состоит из двух одноступенчатых холодильных машин, одна из которых - нижняя ступень каскада - работает на хладагенте RI3, а другая - верхняя ступень - на хладагенте R22.
Обе ступени каскадной машины объединяет один общий аппарат конденсатор-испаритель КД-И. Он служит конденсатором для хладагента RI3 и испарителем для хладагента R22. В нем теплота конденсации RI3 передается кипящему R22.
Использование в нижней ступени RI3 позволяет иметь в испарителе низкую температуру кипения (до -80 °С) при давлении кипения р0 выше атмосферного. Напомним, что нормальная температура кипения R13 tн.к=-81,6 cС, а температура замерзания tЗ= -180°С.
Сравнительно малый объем всасываемого пара v1 обусловливает небольшие габаритные размеры и металлоемкость компрессора нижней ступени.
Значительно меньше у RI3 по сравнению с R22 и отношение давлений рК/p0 Если принять температуру кипения t0= -80 °С, а конденсации в КД-И tК = -40 °С, то отношение рК/p0 будет для R22 равно 10,2, для RI3 — 5,5, т. е. примерно в 2 раза меньше, что весьма существенно отражается на рабочих характеристиках компрессора.